双曲几何

双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例。与欧几里德几何的差别在于第五条公理（公设）－平行公设。在欧几里德几何中，若平面上有一条直线R和线外的一点P，则存在唯一的一条线满足通过P点且不与R相交（即R的平行线）。但在双曲几何中，至少可以找到两条相异的直线，且都通过P点，并不与R相交，因此它违反了平行公设。然而，取代欧几里德几何中的平行公设的双曲几何本身并无矛盾之处，仍可以推得一系列属于它的定理，这也说明了平行公设独立于前四条公设，换句话说，无法由前四条公设推得平行公设。

到目前为止，数学家对双曲几何中平行线的定义尚未有共识，不同的作者会给予不同的定义。这里定义两条逐渐靠近的线为渐进线，它们互相渐进；两条有共同垂直线的线为超平行线，它们互相超平行，并且两条线为平行线代表它们互相渐进或互相超平行。双曲几何还有一项性质，就是三角形的内角和小于一个平角（180°）。在极端的情况，三角形的三边长趋近于无限，而三内角趋近于0°，此时该三角形称作理想三角形。

双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到底还有几多可以适用，以及会有什么特别的现象产生。在双曲几何的环境里，平面的曲率是负数。通过两个点可形成一个直线

不相交的线

已知在双曲几何上，至少有两条直线满足过P点平行直线R。接着在R上取一点B使得PB垂直R于B点，设在所有满足过P点且不与R相交的直线中，存在一条直线x与PB的逆时针方向夹角比其他直线都来的小，即任何一条直线若与PB的逆时针夹角小于x与PB的逆时针夹角，则必与R相交，并定义x为R的渐近线。同理，若存在另一条直线y与PB的顺时针方向夹角比其他直线都来的小，则y为R的另一条渐进线。并且，在所有满足过P点且不与R相交的直线中，唯有x与y是R的渐近线，其余的则称之为R的超平行线。由于满足小于90°且大于x与PB的夹角θ的角度有无线多个，每个角度皆可引出两条R的超平行线，因此R有无线多条超平行线。

因此，对于平面上一条直线R以及线外的一点P，恰能引出两条直线过P且渐近于R，以及无限多条直线过P超平行于R。

此外，渐进线和超平行线的差别还有：不论往线的哪端延伸，两条超平行线之间的距离皆会趋近于无限；但两条渐近线之间的距离则会在一端趋近于零，在另一端趋近无限。从而，在双曲几何中有一定理超平行线定理：对于任两条超平行线存在唯一一条线同时垂直于这两条线。

对双曲平面上的一条直线R，作线段BP垂直R于B点，且线段BP的长度等于一个给定的值p，则定义两条R的过P点的渐近线与线段BP的夹角θ为p的渐近角（Angle of parallelism），通常记为Π（p）。因此有

以及

于是，随着线段长度的缩小，双曲几何的性质会越来越像欧几里得几何。事实上，对任一个双曲几何定义一个定值K=高斯曲率，借由线段长度与的比值，由此可知该平面的性质与欧几里得几何的相似度。

三角形

在双曲几何中，线段长度的定义为两点的最短距离除以，K=高斯曲率，正如同在球面几何中的长度为其圆心角弧度（最短距离除以曲率），有了长度的定义后，便可给出双曲几何中的勾股定理：若一直角三角形的两股长分别为a和b，斜边为c，则

在此，cosh指的是双曲余弦函数。

在双曲几何中，许多双曲三角学公式与欧几里得几何十分相像，大抵上双曲几何中的长度需带入双曲函数。例如双曲几何中的正弦定律为：

不同于欧几里得几何，双曲几何中三角形的内角和必小于π(180°)，故称其内角和与π的差为该三角形的角亏，则该三角形的面积等于该三角形的角亏乘以 R²，而。故所有三角形的面积均小于等于πR²，且等号成立当且仅当该三角形为理想三角形。

圆与球

以下的圆或球半径皆为 r ，并且 K 代表高斯曲率， R 代表

双曲几何中圆的周长为

因为sinh x的泰勒展开式为