简介

【相空间解释】

相空间( phase space)

系统的相 空间通常具有极大的 维数 ，其中每一点代表了包括系统所有细节的整个物理态（系统每个 粒子的位置和动量 坐标）。

作为一个巨大 维数的 空间，它上面的每个点代表我们考虑的系统全部可能的 态。

按方程方法

我们如何按照相 空间来 摹想哈密顿 方程呢？首先，我们要记住相空间的单独的点Q实际代表什么。它代表所有位置 坐标x1，x2，…和所有 动量坐标p1，p2，…的一种特别的值。也就是说，Q表示我们整个 物理系统，指明组成它的所有单独 粒子的特定的 运动状态。当我们知道它们现在的值时，哈密顿 方程告诉我们所有这些 坐标的变化率是多少，亦即它控制所有单独的 粒子如何移动。 翻译成相空间语言，该 方程告诉我们，如果给定单独的点Q在相空间的现在位置的话，它将会如何移动。为了描述我们整个系统随时间的变化，我们在相 空间的每一点都有一个小箭头，更准确地讲，一个矢量，它告诉我们Q移动的方式。这整体箭头的排列构成了所谓的 矢量场。哈密顿 方程就这样地在相 空间中定义了一个 矢量场。

决定论

我们看看如何按照相 空间来解释 物理的决定论。对于时间t=0的初始数据，我们有了一族指明所有位置和 动量 坐标的特定值；也就是说，我们在相 空间特别选定了一点Q。为了找出此系统随时间的变化，我们就跟着箭头走好了，这样，不管一个系统如何复杂，该系统随时间的整个演化在相 空间中仅仅被描述成一点沿着它所遭遇到的特定的箭头移动。“长”的箭头表明Q移动得快，而“短”的箭头表明Q的运动停滞。只要看看Q以这种方式随着箭头在时间t移动到何处，即能知道我们 物理系统在该时刻的状态。很清楚，这是一个决定性的过程。Q移动的方式由哈密顿 矢量场所完全决定。

系统演化

哈密顿方程的形式允许我们以一种非常强而有力的一般方式去“ 摹想”经典系统的演化。想象一个多维“ 空间”，每一维对应于一个 坐标x1,x2，…p1，p2，…（数学空间的 维数，通常比3大得多。）此 空间称之为相空间。对于n个无约束的 粒子。相 空间就有6n维（每个 粒子有三个位置 坐标和三个动量坐标）。读者或许会担心，甚至只要有一个单独 粒子，其 维数就是他或她通常所能 摹想的二倍！不必为此沮丧！尽管 六维的确是能比明了画出的更多的 维数，但是即使我们真的把它画出也无太多用处。仅仅就一满屋子的气体，其相 空间的维数大约就有10,000,000,000,000,000,000,000,000,000

去准确地 摹想这么大的 空间是没有什么希望的！既然这样，秘诀是甚至对于一个 粒子的相空间都不企图去这样做。只要想想某种含糊的 三维（或者甚至就只有 二维）的区域，再看看图就可以了。

可计算性

关于可 计算性又如何呢？如果我们从相 空间中的一个可计算的点（亦即从一个其位置和 动量 坐标都为可计算数的点）出发，并且等待可计算的时间t，那么一定会终结于从t和初始数据计算得出的某一点吗？答案肯定是依赖于 哈密顿函数H的选择。实际上，在H中会出现一些物理常数，诸如 牛顿的引力常数或 光速--这些量的准确值视单位的选定而被决定，但其他的量可以是纯粹 数字--并且，如果人们希望得到肯定答案的话，则必须保证这些常数是可 计算的数。如果假定是这种情形，那我的猜想是，答案会是肯定的。这仅仅是一个猜测。然而，这是一个有趣的问题，我希望以后能进一步考察之。

另一方面，由于类似于我在讨论有关撞球世界时简要提出的理由，对我来说，这似乎不完全是相关的问题。为了使一个相 空间的点是不可 计算的断言有意义，它要求无限精确的 坐标??亦即它的所有小数位！（一个由 有限小数描述的数总是可以计算的。）一个数的小数展开的有限段不能告诉我们任何关于这个数整个展开的可 计算性。但是，所有 物理测量的精度都是有限的，只能给出有限位小数点的信息。在进行 物理测量时，这是否使“可 计算数”的整个概念化成泡影？”

的确，一个以任何有用的方式利用某些 物理定律中（假想的）不可 计算因素的 仪器不应依赖于无限精确的测量。也许我在这里有些过分 苛刻了。假定我们有一台 物理 仪器，为了已知的理论原因，模拟某种有趣的非 算法的 数学过程。如果此 仪器的行为总可以被精密地确定的话，则它的行为就会给一系列数学上有趣的没有 算法的是非问题以正确答案。任何给定的算法都会到某个阶段失效。而在那个阶段，该 仪器会告诉我们某些新的东西。该 仪器也许的确能把某些 物理常数测量到越来越高的精度。而为了研究一系列越来越深入的问题，这是需要的。然而，在该 仪器的有限的精度阶段，至少直到我们对这系列问题找到一个改善的算法之前，我们得到某些新的东西。然而，为了得到某些使用改善了的算法也不能告诉我们的东西，就必须乞求更高的精度。

精度

尽管如此，不断提高 物理常数的精度看来仍是一个棘手和不尽人意的信息编码的方法。以一种分立（或“ 数字”）形式得到信息则好得多。如果考察越来越多的分立单元，也可重复考察分立单元的固定集合，使得所需的无限的信息散开在越来越长的 时间间隔里，因此能够回答越来越深入的问题。（我们可以将这些分立单元想象成由许多部分组成，每一部分有“开”和“关”两种状态，正如在第二章描述的图灵机的0和1状态一样。）为此看来我们需要某种 仪器，它能够（可区别地）接纳分立态，并在系统按照 动力学定律演化后，又能再次接纳一个分立态集合中的一个态。如果事情是这样的话，则我们可以不必在任意高的精度上考察每一台 仪器。

行为