函数方程的概念

1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x+1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x+2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数

2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解

3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程

4.定理（柯西函数方程的解）

若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)

证明：由题设不难得

f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)

令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1）

x=1，则f(n)=nf(1)

x=m/n，则f(m)=nf(m/n) ，解得f(m/n)= f(m)/n= mf(1)/n --------- (2)

x=－m/n ，且令y=－x>0，则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0

∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)

由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)

另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列，则有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)

综上所述，对于任意实数x，有

f(x)=xf(1)

函数方程的解法