勾股定律
勾股定律（Pythagorean Theorem，别称：勾股弦定理、勾股定理）是一个基本的几何定理，最早提出并证明此定理是古希腊的毕达哥拉斯学派（公元前6世纪），在中国最早由商高提出（周朝时期）。
勾股定理指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方，它是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是数形结合的纽带之一。
基本信息
- 中文名
勾股定理
- 外文名
Pythagoras theorem
- 别称
商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理
- 表达式
a²+b²=c²
- 提出者
毕达哥拉斯赵爽商高
定义
在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是
和
，斜边长度是
，那么可以用数学语言表达：
勾股定理是余弦定理中的一个特例。
推导
赵爽弦图
《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”
用现代的数学语言描述就是黄实的面积等于大正方形的面积减去四个朱实的面积。
2002年第24届国际数学家大会（ICM）的会标即为该图。
加菲尔德证法
加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。
在直角梯形ABDE中，
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