四元数
四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年创立出的数学概念。通常记为H，或
。
从明确地角度而言，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。
作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=k0=1，i2=j2=k2=-1
对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。
基础
定义
复数是由实数加上虚数单位 
组成，其中
。
相似地，四元数都是由实数加上三个元素 
、
、
组成，而且它们有如下的关系：
每个四元数都是 1、
、
和 的线性组合，即是四元数一般可表示为
。
要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘数表：
| 1 |
|
|
|
|---|---|---|---|---|
1 | 1 |
|
|
|
|
| -1 |
| - |
|
| - | -1 |
|
|
|
| - | -1 |
四元数的单位元的乘法构成了八阶四元群，
。
例子
假设：
那么：
