定义

凹多边形（Concave Polygon）可以有以下三种定义方式：

凹多边形

• 至少有一个优角（Reflexive Angle）的多边形。（例如上图中，∠CDE>180°）1

• 把一个各边不自交的多边形任意一边向两方无限延长成为一直线，如果多边形的所有边中只要有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不在此直线的同旁（如上图左），那么这个多边形就叫做凹多边形。2

• 凹多边形的是一个内部为非凸集的简单多边形.简单多边形的下列性质与其凸性等价：1、一个内角大于180度。2、存在两个顶点间的线段位于多边形的外部。3、多边形内存在两个点，其连线不全部在多边形内部。3

示例

五角星、四角星、八角星、六角形等都是凹多边形：例如，正六角星中，有一个240°的角。2

性质

• 平面上，不可能存在凹三角形。2

• 凹多边形的内角和的解，应该通过（n-2）180°来计算。实际上是把大于平角的角划分为两个角，使得任意一个凹N多边形，都可分画为N-2个三角形，因此凹多边形的内角和，也适用（N-2）180°这个公式。不可以沿着一条边的延长线切割凹多边形。3

• 平面上，凹多边形与边数相同的凸多边形的内角和相等。1

判断

对于平面多边形的三角化处理也是计算机图形学里面的一个领域，最近由于项目的需要，需要对平面多边形进行剖分，特此对其作了些研究。

在对平面多边形进行处理的时候，很多时候需要知道多边形的凹凸性，本文介绍两种方法来进行平面多边形凹凸性的判定，文章后面会给出示例代码。

1、使用角度和判断凹凸性

我们知道，任意n个顶点的凸多边形可以分解成(n-2)个三角形，一个三角形的内角和是180°，所有三角形的内角和是(n-2)*180°，这一点，对于凸多边形或者凹多边形来说都是一样的，但是对于一个凸多边形来说，不存在内角大于外角，而凹多边形则会存在。

因此，将多边形每个顶点处较小的角（内角或外角）相加，凸多边形得到(n-2)*180°,而凹多边形则小于它。至于如何判断小角，我们可以使用几何工具---向量点乘。我们知道，向

量点乘可以用来等价求两个向量的夹角，它的值（即角）总是以较短的弧度来度量的。

以下是代码的示例：

bool IsHollow(std::vector<Position3> curveloopPoints)const

{