历史发展

古希腊

经由可靠的论证（三段论、推理规则）由前提（原有的知识）导至结论（新的知识）的逻辑演绎方法，是由古希腊人发展出来的，并已成为了现代数学的核心原则。除了重言式之外，没有任何事物可被推导，若没有任何事物被假定的话。公理即是导出特定一套演绎知识的基本假设。公理不证自明，而所有其他的断言（若谈论的是数学，则为定理）则都必须借助这些基本假设才能被证明。然而，对数学知识的解释从古至今已不太一样，且最终“公理”这一词对今日的数学家眼中和在亚里斯多德和欧几里得眼中的意思也有了些许的不同。

古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。

“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。

在各种科学领域的基础中，或许会有某些未经证明而被接受的附加假定，此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的，而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。确实，亚里斯多德曾言，若读者怀疑公设的真实性，这门科学之内容便无法成功传递。

传统的做法在《几何原本》中很好地描绘了出来，其中给定一些公设（从人们的经验中总结出的几何常识事实），以及一些“公理”（极基本、不证自明的断言）。

• 公设

• 能从任一点画一条直线到另外任一点上去。

• 能在一条直线上造出一条连续的有限长线段。

• 能以圆心和半径来描述一个圆。

• 每个直角都会相互等值。

• （平行公设）若一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两个直角，那么这两条直线在各自不断地延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。

• 公理

• 等同于相同事物的事物会相互等同

• 若等同物加上等同物，则整体会相等。

• 若等同物减去等同物，则其差会相等。

• 相互重合的事物会相互等同。

• 整体大于部分。

近代的发展

近150年来，数学家所学到的是，将意思从数学陈述（公理、公设、命题、定理）和定义中抽离出去是很有用的。此一抽象化（或甚至可说是公式化）使得数学知识变得更一般化，容许多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。

结构主义的数学走得更远，并发展出没有“任一”特定应用的理论和公理（如体论、群论、拓扑学、向量空间）。“公理”和“公设”之间的差异消失了。欧几里得公设因为可以导出大量的几何事实而被创造出来。这些复杂事实的真实性依赖于对基本假定的承认。然而，若舍弃第五公设，则可以得到有更多内容的理论，如双曲几何。我们只需要准备以更弹性的方式来使用“线”和“平行”等术语。双曲几何的发展教导了数学家们公设应该被视为单纯的形式陈述，而不是基于经验的事实。

当数学家使用体的公理时，其含义甚至变得更加地抽象了。体论的命题没有关注于任一特定的应用上；数学家现在于完全的抽象化上工作著。体有许多的例子；而体论可以给出对所有这些例子适用的正确知识。

说体论的公理是“被视为不证自明的命题”是不正确的。实际上，体的公理是一套局限。若任一给定的加法与乘法系统符合此些局限，则我们对此系统立即可以得到许多额外的资讯。

现代数学家也对数学基础作了相当程度的形式化，从而使得数学理论可以被视为数学物件，且逻辑本身亦能被视为是数学的一个分支。戈特洛布·弗雷格、伯特兰·罗素、庞加莱、大卫·希尔伯特和库尔特·哥德尔是此发展中的几位关键角色。

在现今的理解里，一套公理是任何一群形式陈述的断言，而透过应用某些定义良好的规则，可由这些公理推导出其他形式陈述的断言。在此观点下，逻辑只是变成了另一个形式系统。一套公理应该是相容的，即应该不可能由此公理中导出矛盾来。一套公理亦应该是非冗余的，即一个可以由其他公理导出的断言不应被视为是一个公理。

近代的逻辑学家最初希望数学的不同分支，最好是所有的数学，都可以被一套相容的基本公理中推导出来。数学形式主义的一个早期成功的例子为希尔伯特对欧几里得几何的公式化，以及相关地，对此些公理相容性的确定。

在更广的方面来看，还有人企图将所有数学放在康托尔的集合论之下。不过，罗素悖论的出现和朴素集合论中相似的矛盾，指出任何此类的形式系统最终都有可能是不相容的。

此计划遭受到的决定性挫败是在1931年，哥德尔证明出只要一个相容的形式系统能够蕴涵皮亚诺公理，就可以在系统内建构出一个其真实性和此套公理独立的陈述。作为一个推论，哥德尔证明出一个如皮亚诺算术的理论，其相容性在理论本身之内会是一个不可证的断言。

相信皮亚诺算术的相容性是合理的，因为它被自然数的系统所满足－一个无限但在直觉上易被接受的形式系统。然而，直到现在，依然没有已知的方法判定集合论中策梅罗-弗兰克尔公理的相容性。选择公理－此理论的关键假定，也依然是一个极具争议的假设。更甚之，利用力迫法的技巧，可以证明连续统假设独立于策梅罗-弗兰克尔公理之外。因此，即使是这种极一般的公理也还不能被视为是数学的决定性基础。