仿射曲线

定义在域上的仿射代数曲线可以看作是中由若干个-元多项式定义的公共零点，使得其维数为一。

利用结式，我们可以将变数消至两个，并化约到与之双有理等价的平面代数曲线，其中，因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。

射影曲线

射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化，它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程（）中，我们作代换：

遂得到个齐次多项式，它们在射影空间中定义一条曲线，此射影曲线与开集的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括中的费马曲线，其上的有理点对应到费马方程的互素整数解。

代数函数域

代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域上的函数域是超越次数为一的有限型域扩张，换言之：存在元素使得在上超越，而且是有限扩张。

以复数域为例，我们可以定义复系数有理函数域。变元对代数关系生成的域是一个椭圆函数域，代数曲线  给出它的一个几何模型。

若基域非代数封闭域，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域并考虑其上的代数曲线，此方程定义了一个的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而

代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。

复代数曲线与黎曼曲面

复射影曲线可以嵌入维复射影空间。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以采复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。

于是我们有三个相互等价的范畴：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与上的函数域。因此一维复分析（包括位势论）、代数几何与域论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。

奇点

判断方式

曲线在一点的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于中的曲线：设该曲线由个个变元的齐次多项式定义，若其雅可比矩阵在区线上一点满秩，则称它点光滑；反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式的选取无关，也与曲线的嵌入方式无关。