互信息的定义

一般地，两个离散随机变量 X 和 Y 的互信息可以定义为：

其中 p(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率分布函数，而 和  分别是 X 和 Y 的边缘概率分布函数。

在连续随机变量的情形下，求和被替换成了二重定积分：

其中 p(x,y) 当前是 X 和 Y 的联合概率密度函数，而 和 分别是 X 和 Y 的边缘概率密度函数。

如果对数以 2 为基底，互信息的单位是bit。

直观上，互信息度量 X 和 Y 共享的信息：它度量知道这两个变量其中一个，对另一个不确定度减少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互独立，则知道 X 不对 Y 提供任何信息，反之亦然，所以它们的互信息为零。在另一个极端，如果 X 是 Y 的一个确定性函数，且 Y 也是 X 的一个确定性函数，那么传递的所有信息被 X 和 Y 共享：知道 X 决定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形互信息与 Y（或 X）单独包含的不确定度相同，称作 Y（或 X）的熵。而且，这个互信息与 X 的熵和 Y 的熵相同。（这种情形的一个非常特殊的情况是当 X 和 Y 为相同随机变量时。）

互信息是 X 和 Y 的联合分布相对于假定 X 和 Y 独立情况下的联合分布之间的内在依赖性。于是互信息以下面方式度量依赖性：I(X; Y) = 0 当且仅当 X 和 Y 为独立随机变量。从一个方向很容易看出：当 X 和 Y 独立时，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：

此外，互信息是非负的（即 I(X;Y) ≥ 0; 见下文），而且是对称的（即 I(X;Y) = I(Y;X)）。

与其他量的关系

互信息又可以等价地表示成

其中 和 是边缘熵，H(X|Y) 和 H(Y|X) 是条件熵，而 H(X,Y) 是 X 和 Y 的联合熵。注意到这组关系和并集、差集和交集的关系类似，于是用Venn图表示。

在互信息定义的基础上使用琴生不等式，我们可以证明 I(X;Y) 是非负的，因此 。这里我们给出 I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X) 的详细推导:

上面其他性质的证明类似。