应用举例

按照阿基米德（Archimedes (260 BCE)）的方法，比较一个圆与底为圆周长高为半径的直角三角形。如果圆与三角形的面积不相等，那么必为大于或小于。我们用反证法排除这两种情形，剩下惟一可能就是等于。证明的关键是利用正多边形。

圆周长（c）：圆的直径（D），那圆的周长（c）除以圆的直径（D）等于π，那利用乘法的意义，就等于 π乘圆的直径（D）等于圆的周长（C），C=πd。而同圆的直径（D）是圆的半径（r）的两倍，所以就圆的周长（c）等于2乘以π乘以圆的半径（r），C=2πr。把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π，

不大于

正方形和正八边形内接于圆，显示了面积差

假设圆面积大于三角形。记为超过的部分。取一正方形内接于圆周，所有四个角在圆周上。在正方形和圆周之间是四个小弓形。如果这四个弓形的总面积大于，将每条弧平分。这样内接正方形变成了内接正八边形，产生了的 8 个弓形，总面积更小。继续分割，直到总面积差小于。现在内接正多边形的面积，一定比三角形的面积大。

但这产生了矛盾：从圆心向正多边形的每一边作垂线，垂线的长度一定比圆半径小。而且每条多边形的边长小于弓形弧长，这样边长总和小于圆周长。多边形区域和个底为高的三角形面积，即等于 。但是由于和，多边形面积一定小于三角形面积，矛盾。从而我们的假设比大一定是错误的。

不小于

圆外切正方形和正八边形，显示了面积差

假设圆面积小于三角形的面积。记为不足的部分。取一个圆外切正方形，所以每条边的中点在圆周上。如果正方形和圆周的面积差，大于，将所有角用圆的切线裁去得到了一个圆外切正八边形，继续这样的过程直到面积差小于。正多边形的面积一定小于。

这样同样得到了矛盾：因为圆心到多边形各边的垂线是半径，长为。而边长总和大于圆周长，多边形由 n 个全等的三角形组成，总面积大于。又一次我们得到了矛盾，从而假设大于一定也是错的。

所以圆的面积一定恰好和三角形的面积相等。这样便证明了结论。

演绎过程

圆面积重排

按照 SATŌ Moshun （Smith & Mikami 1914，pp. 130–132）和列奥纳多·达芬奇（Beckmann 1976，p. 19）的方法，我们可用另一方式使用圆内接正多边形。假设我们有一个内接正六边形。将其从圆心剪开为 6 个三角形。相对的两个三角形和两条相同的直径相接；沿着一条滑动，这样辐射状的边变为相邻。它们现在组成了一个平行四边形，六边形的边组成了一组相对底边。两条辐射状边组成了斜边，高为（和阿基米德里证明中的相同）。事实上，我们可以把所有的三角形连续排列起来，可组成一个大平行四边形。如果我们把边数增加为 8 条以及更多，同样成立。对一个正多边形，平行四边形的底边长为，高为。当边数增加时，平行四边形的边长趋近于周长一半，高趋近于圆半径。取极限，平行四边形变为一个宽高的长方形。

重排正边形求单位圆面积

多边形			平行四边形
		边		底		高		面积
4		1.4142136		2.8284271		0.7071068		2.0000000
6		1.0000000		3.0000000		0.8660254		2.5980762
8		0.7653669		3.0614675		0.9238795		2.8284271
10		0.6180340		3.0901699		0.9510565		2.9389263

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洋葱证明