基础定义

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得

逆矩阵

则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

应用举例

求逆矩阵的初等变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。

如求的逆矩阵A-1。

故A可逆并且，由右一半可得逆矩阵A-1=

初等变换法计算原理

若n阶方阵A可逆，即A行等价I，即存在初等矩阵P1，P2,...,Pk使得

，在此式子两端同时右乘A-1得：

比较两式可知：对A和I施行完全相同的若干初等行变换，在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时，这些初等行变换也将单位矩阵化为A-1。1

如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵2。

伴随矩阵法

如果矩阵可逆，则

注意：中元素的排列特点是的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。要求得即为求解的余因子矩阵的转置矩阵。A的伴随矩阵为，其中Aij=（-1）i+jMij称为aij的代数余子式。

性质