例子

有理数空间不是完备的，因为的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限不在有理数空间内。

实数空间是完备的

开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛于(0, 1)中任何的点。

令S为任一集合，SN为S中的所有序列。如下定义SN上任意两个序列(xn)和(yn)的距离：如果存在某个最小的N，使，那么定义距离为1/N；否则（所有的对应项都相等）距离为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。

相关定理

任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。

完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。

若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：

。

若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合Cb(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。

贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。

完备化

定义

对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M' （或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M' 具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M' 到N的一致连续函数f' 使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M' 在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。

以上定义是基于M是M'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。

对于交换环及于其上的模，同样可以定义相对于一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。

构造

类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。