三面角余弦定理

在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为∠OA，则有：

cosBOC=cosAOBcosAOC+sinAOBsinAOCcosOA

或

cosOA=(cosBOC-cosAOBcosAOC)/sinAOBsinAOC

文字叙述为：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所对面角的余弦减去另两个面角的余弦之积，再除以这两个面角的正弦之积。

根据这个定理，结合三正弦定理就可以求直线和平面所成角或二面角。

基本信息

在OA上取一点D，过D作OD的垂线DE、DF分别交OB、OC于E与F。接着使用向量证明。

考虑有向线段OD、OE、OF、DE、DF。易知：

cos∠OA=DE·DF/(DE*DF)

sin∠AOB=DE/OE

sin∠AOC=DF/OF

cos∠AOB=OD/OE

cos∠AOC=OD/OF

cos∠BOC=OE·OF/(OE*OF)；

则实际是要证明：

DE·DF/(DE*DF)*DE/OE*DF/OF+OD/OE*OD/OF=OE·OF/(OE*OF)

整理得(DE·DF+OD²)/(OE*OF)=OE·OF/(OE*OF)

即是要证明OD²+DE·DF=OE·OF；

显然，OE·OF=(OD+DE)·(OD+DF)=OD²+OD·DE+OD·DF+DE·DF，

注意到OD·DE=OD·DF=0，即可证明原式。