释义

随机游走

英文：random walk

定义：随机游走，概念接近于布朗运动，是布朗运动的理想数学状态。

核心概念：任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律。

定律介绍

无规则行走与扩散定律

无规则行走

斯特林公式

无规则行走在任意尺度上都具有相似结构。例如一个在二维（d=2）格子上游动，每一定时间以相同概率移动到其相邻位置，其轨迹即二维随机轨迹，同样可以扩展到三维。举个例子，你取2个硬币一个1分，一个5分。你每五秒，将2个硬币掷一次，1分硬币用于左右移动标记，5分硬币用于前后移动标记，绘出路径就是你的二维无规则行走。假如你走了1000步那么你回到起点的方式M0有多少种？那么么必须正反面各500次。即，对一个特定投币序列将投出正面的序号列出清单，清单包括500个不同的整数这个量为：1000！/500！，而任意两张清单只在元素存在换序的差异，则实际上并无区别所以必须除以可能的置换数500!,M0=1000！/（500×500！），“！”表示阶乘。回到原点的概率P0=M0/M，这个概率满足二项分布。

对于所有M种可能可以用斯特林公式进行计算，通过计算我们知道回到起点的概率很低。

醉酒人的无规则行走

要想找出第1000步后你走了多远，你可以列出1000次投币的结果序列然后对所有（x1000）的2次方求平均，得到1000步后的均方位置；这显然太复杂，好在还有另外的方法。我们可以将所有2的N次方种可能行走一一配对，每一配对由相同的x（N-1）；{（N-1）为x的下脚标}的两个可能性相等的行走组成，只是最后一步不同。N步随机性走的均方位移比N-1步大a的2次方，后者又比N-2步大a的2次方，均方位移=Na的2次方。a为格子间隔，每一个格子点上游动的可能方向有2d个（d是格子维数）单位时间内游动的方差为D=a2/（2d）t，D为扩散系数（一些参考书中也用字母K表示，

a后面的2为次方，后面凡数字在字母后面都表示指数）。对于一维无规则行走的均方位移随时间线性增加2Kt，扩散常数D=a2/（2Δt）。这个逻辑可以推广到二维和三维。

也许行走若干个步后他会回到出发点，但这样的概率非常小。他离开酒吧的距离满足扩散定律。

（a）二维无规则行走；

（b）当步骤更多，步幅更低时二维无规则行走；

（c）三维无规则行走。

扩散定律