点阵动力学

attice dynamics

研究晶体中的原子在其平衡位置附近的振动及晶体性质与这些振动间的关系的学科。它是固体物理学的基本内容之一 。晶体中的原子（或离子、分子、原子集团）在空间作周期性排列，构成有序的点阵结构。在各个温度下，晶体中的原子都在其平衡位置附近作不断的热振动，晶体的比热容、热膨胀、热传导和相变等宏观热现象都与这种热振动有关，点阵动力学就是要研究晶体中这种热振动的特征，并与晶体的宏观性质联系起来，还要进一步研究外加电磁场与晶体内部热振动间的相互作用及由此而产生的各种效应。

作用力

晶体中原子之间有相互作用力，故各原子的热振动是相互联系的，这些相互联系的振动构成了晶体中的波动，称为点阵波。由N个原子组成的晶体，共有3N个振动自由度，3N个振动模式。研究晶体内部运动的基本问题之一是求出所有可能存在的振动的本征频率 。 在点阵动力学的简谐近似中，假定原子作简谐振动，列出各原子遵守的动力方程，根据有解的条件可得晶体中存在两种频率，一种是低频 振动（对应原子或分子的整体振动），是以普通声波形式出现的弹性波，故称为声频支；另一种是高频振动（对应分子内部的振动），其频率与红外线的频率相当，故称光频支。决定频率分布也是重要的，因这直接涉及晶体的内能和比热容，这通常由实验测定，或利用简单模型加以规定（例如德拜模型）。对谐振动或点阵波量子化后，就可求出晶体的内能和比热容（见固体比热容）。

非线性振动

把原子看成是线性谐振子引只是一种近似，实际上晶体的许多性质是由原子的非线性振动引起的。例如由于振动的非线性，温度的改变将使振动的平衡位置发生变化，从而出现热膨胀现象；又如点阵波间的相互作用也起因于非线性振动，点阵波的相互散射导致了热阻的产生，可解释晶体的热传导现象。

量子化

光子-内部结构模型图

　　在量子理论中，原子的振动能量和点阵波的能量是量子化的，仿照光子概念，点阵波的能量量子称为声子，其能量为hγ（ h为普朗克常量，γ为点阵波频率 ）。与光子一样，声子不仅具有能量，还具有质量和动量，是一种准粒子，它可与其他声子或光子相互作用。原子振动能量的改变导致相应声子的产生或消失。电磁波与点阵振动的相互作用可处理成光子-声子相互作用 ， 例如光子与声子的非弹 性碰撞产生拉曼散射或布里渊散射。晶体中的电子与点阵振动的相互作用可处理成电子-声子相互作用 ，在相互作用过程中电子的能量和动量可转移给声子，相应地点阵振动能量跃迁到较高能级；反之，声子的能量和动量也可转移给电子，对应点阵振动能量跃迁到较低能级 。 这种电子-声子相互作用是纯净的无缺陷金属产生电阻的原因，也是超导电性的起因。导致晶体产生热阻的点阵波间的相互散射可处理成声子 -声子的相互作用过程。

历史

点阵动力学的研究始于20世纪初。1907年,A.爱因斯坦发表了题为“普朗克辐射理论与比热的理论”的论文，他把N个原子组成的晶体,看作是3N个相互独立的具有同一频率的谐振子；并认为这些振子的能量也应按普朗克的理论量子化，从而说明在温度趋于绝对零度时，晶体中由原子运动贡献的比热趋向于零这一实验事实。爱因斯坦的工作不仅是点阵动力学的开始，而且在量子理论的发展上也起了重要作用。但他所得到的热容公式在低温下接近于零的趋向显得比实验结果快（见爱因斯坦模型）。P.J.W.德拜在1912年认识到，爱因斯坦热容公式与实验不大符合的原因在于没有考虑到晶体中原子振动频 率并不是完全相同的。德拜把晶体当成连续媒质来求得振子频率分布，得到了更符合实验结果的比热容公式，德拜的理论能比较简明地概括实验材料，在推动点阵动力学的发展上，起过较大作用(见德拜模型)。同年,M.玻恩和T.von卡门发表了题为“论空间点阵的振动”的论文，提出晶体中的原子振动应以点阵波的形式存在。他们的论文包含了现代点阵动力学的大部分基本概念和原则，是点阵动力学的奠基性著作。从20年代到40年代，人们进一步完善了点阵动力学的基本理论；点阵振动对晶体的热力学性质、热传导、电导、介电和光学性质、X射线衍射等方面的理论和实验研究也发展了起来。这些都比较完全地总结在玻恩和黄昆的专著《晶体点阵的动力理论》一书中。50年代以来，点阵动力学在实验研究上有了很大的进步，特别是利用中子非弹性散射直接测定点阵振动的色散关系（见点阵动力学的实验研究方法）。

实验研究

　　点阵动力学的实验研究最主要的是直接测定点阵波的色散关系ωj(k)。晶体的许多性质都和函数ωj(k)有关,但能用以直接测定 ωj(k)的是利用电磁波或其他波与点阵波的相互作用。最重要的是中子非弹性散射──中子的德布罗意波与点阵波的相互作用。

两个波矢相差一个倒易点阵矢量的点阵波是等效的，因此可把点阵波的波矢 k的取值范围限于波矢空间的特定的多面体,它称为第一布里渊区。k的允许值取决于对解所加的边界条件。很显然,对足够大的晶体来说,选择不同的边界条件对从解所得到的晶体的“体”的性质是不会有影响的。H.韦耳(1911)、W.莱德曼(1944)对此给出过严格的数学证明。通常,都采用玻恩和T.von卡门的做法，想像把晶体取成为每边有L个元胞的立方体,要求该立方体相对的面上的解相等。这个边界条件限制了波矢k的取值,m1、m2和m3是整数b1、B2和B3是点阵的倒易点阵的基矢。显然，在第一布里渊区中k的取值可以有L3个,即这个立方体所包含的元胞数。每个k有3s个点阵波，因此共有 3sN(N=L3)个点阵波。晶体中任一个原子的运动可以用这3sN个点阵波的叠加来表达。注意到这个立方体中包含有sN个原子,有3sN个运动自由度；所以用点阵波来表达可以看作是对这个振动系统的一个坐标变换，从这个观点，就很容易把点阵动力学的理论发展成为量子理论。

热力学性质

但只基于简谐近似来计算晶体的热力学性质仍是不够的（见非谐相互作用）。