同余数

同余数是一个三条边均为有理数的直角三角形的面积。1换一种说法，如果有三个正有理数x,y,z，满足条件x²+y²=z²，1/2xy=N，则N为同余数。若正整数N是同余数，则N称为整同余数。2

同余数问题是“寻求一个简单的判别法则来决定一个自然数n是否是同余数”1。如何判断和寻找同余数是一个几千年的问题，这也与最前沿的数论研究有深刻关系。

基本信息

叫同余数，如果它是三边边长都是有理数的直角三角形的面积。用式子来表示就是：如果存在三个正有理数满足和面积，此数就称为同余数。

例如：6是同余数,因为它是三边边长3、4、5的直角三角形的面积。5也是同余数，因为它是边长为的直角三角形的面积。

如果正整数n是同余数，那么，n称为整同余数。

设n是正有理数，且对，这里s是正有理数，而r是无平方因子的正整数，那么n是同余数当且仅当r是同余数。

由此可见，同余数的问题可转化为整同余数来处理。2

如果一个A 是不含平方因子的整同余数，则 A 称为本原同余数。

定理：n是整同余数的充要条件是存在正整数a,b,v，使得：

其中，是正整数，一奇数一偶数2

推论：若不定方程没有正整数解，则n不是同余数。

例1 试证明：1不是同余数

证明：因为不定方程没有正整数解3，由推论知，1不是同余数。

例2 试证7是同余数

证明：在中，取，得，故7是同余数