定义

当两条直线相交所构成的四个角中，如果有一个角是直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线（垂直线），它们的交点叫做垂足。两条直线互相垂直，是两条直线间又一重要的位置关系。

证明的方法

说明

证明两条直线互相垂直的方法很多，现列出十种主要方法如下：

1．直接用定义。即证相交两直线所构成的角中有一个是直角，或通过计算，求出其中的一个角等于90°。

2．如果一三角形中，有两个内角之和等于90°，那么这个三角形是直角三角形。

3．一条直线垂直于平行线中的一条，则这条直线也垂直于平行线中的另一条直线。

4．利用等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合。

5．利用勾股定理逆定理。即在△ABC中，如果它的三条边有关系式，那么∠C=90°(这个三角形是直角三角形)。

6．利用菱形的性质，即菱形的两条对角线互相垂直平分。

7．利用垂径定理及其逆定理。例如，在圆O中，P是弦AB的中点，连结OP，则OP⊥AB。

8．利用圆周角定理的推论。即在圆中，直径所对的圆周角是直角，或半圆所对的圆周角等于90°。

9．利用定理：在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

10．利用切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

除了上述十种主要方法外，还有一些其他方法。例如，利用线段垂直平分线性质的逆定理，即如果一点到线段两端点的距离相等，那么这一点必在这条线段的垂直平分线上。也可以利用三角函数的计算来证明两直线垂直。例如，当角a是锐角时，如果sina=1，那么a=90°(当然，由cosa=0，或ctga=0，同样可推得a=90°)。总之，证明两条直线互相垂直的方法很多，读者在运用时既要根据所给条件或图形的特征，灵活选择方法，同时辅以必要的分析与综合，一定能较简捷地证明两条直线互相垂直。1

例题解析

例1如图1，在△ABC的外侧以AB、AC为斜边分别作等腰直角三角形ABD、ACE。设BC的中点为O，连结DO、EO，求证DO⊥EO且DD=EO。

图1