重根
数学代数名词
对代数方程，即多项式方程，方程f(x) = 0有根x = a则说明f(x)有因子(x - a)，从而可做多项式除法P(x) = f(x) / (x-a)结果仍是多项式。若P(x) = 0仍以x = a为根，则x= a是方程的重根。或令f1(x)为f(x)的导数，若f1(x) = 0也以x =a为根，则也能说明x= a是方程f(x)=0的重根。
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基本信息
- 中文名
重根
- 外文名
multiple root
- 定义
多项式方程重数大于等于2的根
- 分类
数学1
- 应用领域
代数学
- 对应概念
单根
基础定义
如果
有
重因式
，即
公式
其中，是大于1的自然数，
是不含因式的多项式，则称
存在重根
，且其重数为。2
应用举例
判断方程
有没有重根。
解：设
，则
，即
和
是
的根，先将这两根分别代入
，由于是
的根，所以是多项式与它的导数的公根，它就是的重根；而不是的根。2
演绎过程
根据多项式乘积的导数公式，对函数
求导可得：
公式
上式中，由于
不含因式，而
含有因式，于是括号中的
不含有因式，因此是的
重根。由此可以得到多项式重根有以下性质：
①多项式的重根也是它的导数函数的根，且作为导数根的重数少1。
②当且仅当多项式与它的导数的最高公因式是零次多项式时，多项式才没有重根。2
参考资料
- 1重根术语在线（引用日期 2022-03-12）
- 2李传芳高次方程上海教育出版社1979