积分中值定理
数学定理
积分中值定理（Mean value theorems for definite integrals），是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。
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积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。
积分第一中值定理内容
若函数
在闭区间
上连续，则在积分区间
上至少存在一个点
，使下式成立
其中，a、b、
满足：
。
二重积分的中值定理
设f(x,y)在有界闭区域D上连续，
是D的面积，则在D内至少存在一点
，使得:
定理证明
在
上连续，因为闭区间上连续函数必有最大最小值，不妨设最大值为
，最小值为
，最大值和最小值可相等。
对
两边同时积分可得：
同除以
从而得到：
由连续函数的介值定理可知，必定
，使得
，即：
命题得证。
积分第二中值定理
形式
在
上Riemann可积，考虑下列两种情况：