发展历史

皮埃尔·德·费马

皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数（质数）的要求。

1736年，欧拉出版了一本名为“一些与素数（质数）有关的定理的证明”（拉丁文：Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio）”的论文集，其中第一次给出了证明。但从莱布尼茨未发表的手稿中发现他在1683年以前已经得到几乎是相同的证明。

有些数学家独立制作相关的假说（有时也被错误地称为中国的假说），当成立时，p是素数。这是费马小定理的一个特殊情况。然而，这一假说的前设是错的：例如，，而341=11×31是一个伪素数（质数）。所有的伪素数（质数）都是此假说的反例。

如上所述，中国猜测仅有一半是正确的。符合中国猜测但不是素数（质数）的数被称为伪素数（质数）。

更极端的反例是卡迈克尔数：假设与561互质，则被561除都余1。这样的数被称为卡迈克尔数，561是最小的卡迈克尔数。Korselt在1899年就给出了卡迈克尔数的等价定义，但直到1910年才由卡迈克尔（Robert Daniel Carmichael）发现第一个卡迈克尔数：561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡迈克尔数有无穷多个。

证明方法

方法一

若n不能整除，，，则n也不能整除。取整数集为所有小于的集（构成的完全剩余系，即中不存在两个数同余），是中所有的元素乘以a组成的集合。因为中的任何两个元素之差都不能被p整除，所以B中的任何两个元素之差也不能被p整除。

换句话说，，考虑共个数，将它们分别除以p，余数分别为，则集合{r1,r2,r3,...,rp-1}为集合{1,2,3,...,(p-1)}的重新排列，即1,2,3,....,(p-1)在余数中恰好各出现一次；这是因为对于任两个相异k*a而言（k=1,2,3....(p-1)），其差不是p的倍数（所以不会有相同余数），且任一个k*a亦不为p的倍数（所以余数不为0）。因此

即

在这里W=1·2·3·...·(p-1)，且(W, p) = 1，因此将整个公式除以W即得到：

方法二

考虑二项式系数，n不为p或0，由于分子有质数p，但分母不含p，故分子的p能保留，不被约分而除去，即恒为p的倍数。

再考虑(b+1)p的二项式展开，模p，则