皮亚诺公设
皮亚诺公理是意大利皮亚诺所构造的算术公理系统中的公理。1889年，在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以l而不是0作为基本概念。在后来的著作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的四条公理，并且以0取代1作为基本概念，构造了沿用至今的皮亚诺算术公理系统。
基本信息
- 中文名
皮亚诺公理
- 外文名
Peano axioms
- 别称
皮亚诺公式
- 提出人
数学家皮亚诺(皮阿罗)
定义
目的是定义自然数集合，首先需要承认的是集合具有的一些运算性质，例如a=b时a,b代表的是同一个元素。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ 0是自然数；
Ⅱ 每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如，1'=2，2'=3等等。）
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：
Ⅲ 0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条。
Ⅳ不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。
Ⅴ设S⊆N，且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)
注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。
若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。
更正式的定义
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X,x,f)：
ⅠX是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射；
Ⅱx不在f的像集内；
Ⅲf为一单射。
Ⅳ 若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A，则A=X。
该结构与由皮亚诺公理引出的关于自然数集合的基本假设是一致的：