薄壳理论
基本介绍
所谓壳体是由内、外两个曲面围成的物体，两个曲面称为壳体的表面。与两个曲面等距的点所形成的曲面称为壳体的中面；两曲面之间的中面法线长度称为壳体的厚度。一般壳体可用中面的几何形状和厚度来描述。中面封闭的壳体称为封闭壳体，否则称为开口壳体。开口壳体除了内外表面外，还有四周的边界面。最大厚度远小于中面曲率半径和另外两个方向尺寸的壳体称为薄壳。薄壳主要以沿厚度均匀分布的中面应力而不是以沿厚度变化的弯曲应力来承受外载，具有重量轻、强度高的优点，所以在航天、航空、造船、化工、建筑、水利和机械等工业中得到广泛应用。
薄壳理论是19世纪末在基尔霍夫－乐甫假设的基础上建立起来的。进入20世纪后，在生产技术的推动下，壳体理论曾有较大的发展。当时主要是针对不同类型的壳体建立各种简化理论。50年代开始对基尔霍夫－乐甫假设进行修正，使薄壳理论精确化。随着电子计算机的进步，薄壳理论在数值计算以及理论分析和数值计算相结合两方面都有迅速发展。
基本理论
薄壳的几何形状和变形情况通常都很复杂，必须引入一系列简化假设才能进行研究。最常用的假设是基尔霍夫－乐甫假设，以此为基础可建立薄壳的微分方程组，通过解微分方程组可得到壳体中的位移和应力。
基尔霍夫－乐甫假设 1874年德国的H.阿龙将薄板理论中的基尔霍夫假设推广到壳体。1888年经英国的A.E.H.乐甫修正，形成至今仍然广泛采用的薄壳理论。基尔霍夫－乐甫假设包括四个内容：①壳体厚度（t）远小于中面最小曲率半径R； ②壳体的变形和位移量都非常小，而且转角和应变是同级小量，在变形几何关系中可以忽略二次以上的高阶项；③中面法线方向的正应力分量远小于与法线垂直方向上的正应力分量，前者在应力－应变关系中可略去不计；④变形前中面的法线在变形后仍为法线，且在变形过程中，壳体厚度不变。严格地说，③和④两点假设是不相容的，不过由此引起的误差在t/R量级以内，这对薄壳来说是允许的。
薄壳中的变形和内力 相应于基尔霍夫－乐甫假设的薄壳的中面变形包括两个正交方向（α、β方向）的中面正应变ε1、ε2，中面剪应变γ，两个方向的中面曲率变化κ1、κ2和中面扭率变化值κ12；薄壳中的中面内力包括法向力T1、T2，切向力T12、T21，横向剪力N1、N2，弯矩Μ1、Μ2和扭矩Μ12、Μ21（见图）。薄壳理论的任务就在于求出中面的变形和内力，进而根据下列表达式求出壳内的应变分量和应力分量σ1、σ2、τ12：
式中z为所考虑的点到中面的距离。上述诸式中等号右端的第一项为沿厚度均匀分布的薄膜应变和应力，第二项为线性分布的弯曲或扭转应变和应力。
基本方程
根据弹性力学并利用基尔霍夫－乐甫假设建立起来的近似理论称为壳体的乐甫一级近似理论。它包含一系列基本方程：
①应变－位移关系式 应用微分几何中的曲面理论，中面变形的应变－位移关系式（即几何方程）为：
式中u、v、w为沿α、β方向和法方向的位移分量；A1、A2为α、β方向的拉梅系数；R1、R2为α、β方向的曲率半径。由于曲率的存在，壳体变形中的切向位移分量u、v与法向位移分量ω间便有耦合关系，从而造成壳体几何方程的复杂化。
②静力平衡方程 它的一般形式可写为：
式中q1、q2和q3分别为单位中面面积上在α、β方向和法方向的表面载荷分量。这些方程表明，中面切向的平衡方程中包含横向剪力N1和N2，而在法向的平衡方程中又含有中面内力T1和T2。即使在小变形情况下，中面内力与横向剪力也是相互耦合的。此外，最后一式按内力定义应为恒等式。