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  • 1.摘要
  • 2.基本信息
  • 3.演绎过程
  • 3.1.反证法
  • 3.2.几何法
  • 3.3.代数法
  • 3.4.向量法
  • 4.性质定理
  • 4.1.定理证明
  • 4.2.定理1证明
  • 4.3.定理2证明
  • 4.4.定理3证明
  • 4.5.定理4证明
  • 4.6.推论证明
  • 5.线面垂直
  • 5.1.点在平面外
  • 5.2.点在平面内
  • 6.参考资料

线面垂直

直线与平面垂直

直线与平面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”

基本信息

  • 中文名

    线面垂直

  • 证明方法

    反证法1

  • 注意

    平行直线、则无法判定线面垂直

  • 含义

    一条直线和平面内任意直线都垂直

演绎过程

判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

注意关键词“相交”，如果是平行直线，则无法判定线面垂直。需要相交的原因见下文。

反证法

设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直，则l⊥面S

假设l不垂直于面S，则要么l∥S，要么斜交于S且夹角不等于90。

当l∥S时，则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时，过l任意作一个平面R与S交于m，则由线面平行的性质可知m∥l

∴m⊥AB

又∵l⊥CD

∴m⊥CD

∴AB∥CD，与已知条件矛盾。

当l斜交S时，过交点在S内作一直线n⊥l，则n和l构成一个新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，则n是两平面交线。由面面垂直的性质可知l⊥S，与l斜交S矛盾）。

∵l⊥AB

∴AB∥n

∵l⊥CD

∴CD∥n

∴AB∥CD，与已知条件矛盾。

综上，l⊥S

几何法