发展简史

1845年约瑟·伯特兰提出了“伯特兰-切比雪夫定理”这个猜想。伯特兰检查了2至3×10^6之间的所有数。1850年切比雪夫证明了这个猜想。拉马努金给出较简单的证明，而保罗·艾狄胥则借二项式系数给出了另一个简单的证明。

验证推导

在证明 Bertrand 假设前我们先来证明几个辅助命题。

引理 1： 设 n 为一自然数， p 为一素数， 则能整除 n! 的 p 的最高幂次为：s，（[x]表示不大于x的最大整数）。

证明： 能整除 n! 的 p 的最高幂次显然等于从 1 到 n 的各自然数中 p 的最高幂次之和， 即(其中 si 为能整除 i 的 p 的最高幂次)。 然后将从 1 到 n 的所有 (n 个) 自然数排列在一条直线上， 在每个数字上叠放一列 si 个记号， 显然记号的总数是 s。 关系式表示的是先计算各列的记号数 (即 si) 再求和。 但我们也可以先计算各行的记号数再求和， 由此得到的关系式正是引理 1。为了证明这一点， 我们从数字所在的直线开始自下而上计数。很明显所有第一行有记号的数字都含有因子 p (因为否则的话 si = 0， 没有记号)，这种数字的总数 (也就是该行的记号总数)是 n/p ； 第二行有记号的数字都含有因子 p2 (因为否则的话 si < 2， 在第二行上不会有记号)，这种数字的总数 (也就是该行的记号总数) 是 n/p2 ，依此类推，第i行的记号总数为 n/pi 。 将所有这些数字相加便证明了引理 1。Q.E.D.（此段冗余 应放入“勒让德定理”词条 直接从推论1.1开始）

我们之所以用这样一种比较文字化的方式来叙述引理 1 的证明过程， 目的在于更清楚地显示该证明的基本思路：即利用一个有限二维点阵求和的不同方式 (顺序) 得到互相等价的不同表达式。 这是数学证明中一种常用的手段。

推论 1.1： 设 n 为一自然数， p 为一素数， 则能整除的 p 的最高幂次为：

证明： 显然。 Q.E.D.

推论 1.2： 设 n ≥ 3为一自然数， p 为一素数，s为能整除的 p 的最高幂次， 则：(a) p^s ≤ 2n； (b) 若 p > √2n，则s≤1；(c) 若 2n/3 < p ≤ n，则s = 0。

证明： (a) 设 m 为满足 p^m ≤ 2n 的最大自然数， 则显然对于 i > m， [2n/pi ]- 2 [n/pi ]= 0 - 0 = 0。因此推论 1.1 中的求和止于 i = m， 共计 m 项。 由于 [2x ]- 2 [x ]≤ 1， 因此这 m 项中的每一项不是 0 就是 1， 其求和结果不超过项数本身， 即 s ≤ m， 因此 p^s ≤ p^m ≤ 2n。

(b) 因为 p > √2n 表明 p^2 > 2n， 因此由 (a) 可得 s ≤ 1。

(c) 因为 n ≥ 3 及 2n/3 < p ≤ n 表明 p^2 > 2n，因此推论 1.1 中的求和只有 i = 1 一项， 即： s = [2n/p] - 2 [n/p] 。 由于 2n/3 < p ≤ n 还表明 1 ≤ n/p < 3/2， 因此 s = 2n/p - 2 n/p = 2 - 2 = 0。 Q.E.D.

引理 2： 设 n 为自然数， p 为素数， 则 Π(p≤n) p < 4^n。

证明： 用数学归纳法。 n = 1 和 n = 2 时引理显然成立。

假设引理对 n < N 成立 (N > 2)， 我们来证明 n = N 的情形。 如果 N 为偶数， 则，引理显然成立。

如果 N 为奇数， 设 N = 2m + 1 (m ≥ 1)。 注意到所有 m + 1 < p ≤ 2m + 1 的素数都是组合数的因子 (因为它们是 (2m+1)! 的因子， 但却不是 m! 和 (m+1)! 的因子)； 另一方面组合数在二项式展开 (1+1)^(2m+1)中出现两次， 因而。

这两点合并可得。 由此 (并利用归纳假定) 可得