基础定义

被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

其中：

，被称为调和平均数。

，被称为几何平均数。

，被称为算术平均数。

，被称为平方平均数。

演绎过程

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：

（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

原题等价于：, 当且仅当时取等号。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即, 当且仅当时取等号。那么当n=k+1时，不妨设是、......中最大者，则

设，

，根据引理

，当且仅当且时，即时取等号。