种群动态模型

单种种群模型

种群在无限环境中的指数增长模型　自然种群是在现实的有限的环境中增长的。这里先介绍一个理想种群在无限环境中的增长模型。种群增长可分为离散增长和连续增长两类。如果现实种群只由一个世代构成，相继世代之间没有重叠，种群增长就属于离散型。例如栖息于草原季节性小水坑中的水生昆虫，每年雌虫产一次卵，卵孵化长成幼虫，蛹在泥中渡过旱季，到第二年才变为成虫，世代不相重叠。相反，世代之间有重叠，种群就接近连续增长型。

世代不相重叠种群的离散增长型（差分方程） 　假定从一个繁殖季节t0开始，有N0个雌体和同等量的雄体(这样就能简单地以雌体产生雌体来代表种群增长)，其产卵量为B，总死亡为D，那么到下一年，t1时，其种群数量N1为(假定种群没有迁入和迁出)：

N1=N0+B-D。

以λ代表种群两个世代的比率：λ=N1/N0；如果种群在无限环境中年复一年地以这个速率增长，则

N1=N0λ

N2=N1λ

N3=N2λ

.........

Nt+1=Ntλ

或Nt=N0λt。

λ在此称为周限增长率。这种种群增长形式称为几何级数式增长或指数式增长。

对方程式Nt=N0λt两边取对数值，则

lgNt=lgN0+tlgλ。

它具有直线方程y=α+bx的形式。因此,以1gNt对t作图，就能得到一条直线，其中1gN0是直线的截距，1gλ是直线的斜率。如果我们观察到一个种群，用其数量的对数与时间作图，可以得到一条直线，那么就能知道，这个种群象我们的模型一样，具有恒定的增长率，其增长率未受其他因素的限制，同时，按照直线的斜率，就能知道这个种群的周限增长率λ。

这个模型中只有一个参数λ，它是一个有用的量,如果λ=1即Nt+1/Nt=1,则种群数量在t+1时和t时相等,即种群稳定。事实上有 4种可能：λ>1，种群上升；λ=1,种群稳定；λλ=0，种群在一代中灭亡。

世代重叠种群的连续增长模型（微分方程） 　如果世代之间有重叠，种群数量以近似连续的方式改变，通常就用微分方程来描述。对于在无限环境中瞬时增长率保持恒定的种群,种群增长仍表现为指数式增长过程,即其积分式为Nt=N0。

式中 e为自然对数的底；r为种群的瞬时增长率。假定b和d为种群的瞬时出生率和瞬时死亡率，那么瞬时增长率r=(b-d)（假定没有迁入和迁出）。