基础定义

开普勒在《宇宙和谐论》发表的表述：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。1

推导过程

注意：以下式子并不是开普勒推导出的。开普勒在观测中正确地阐明了火星运动的轨道定律，但是未能运用数学加以证明他的结论的普适性。也就是：开普勒本人并未就第一定律进行数学推导，这些推导是牛顿完成的。

证明：（r是行星相对于太阳的位移矢量）

设定

这样，角速度是

对时间微分和对角度微分有如下关系：

根据上述关系，径向距离 对时间的导数为：

再求一次导数：

代入径向运动方程，

将此方程除以，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程来描述行星轨道：