基本概念

定义

大地线（Geodesic Lines）是指地球椭球面上两点间的最短程曲线。1

在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线。1

模型

图1-大地线示意图

假如在椭球模型表面A, B两点之间，画出相对法截线如图1，然后在A，B两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，如图1所示，这就是一条大地线，由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间最短线。1

相对法截线

图2-相对法截线示意图

假设经纬仪的纵轴同A，B两点的法线Ana和Bna重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截线。用A点照准B点，则照准面AnaB同椭球面的截线为AaB，叫A点的正法截线，或B点的反法截线；同样由B点照准 A 点，则照准面BnbA与椭球面的截线为BbA，叫B点的正法截线，或A点的反法截线。因法线Ana和Bnb互不相交，故AaB和BbA这两条法截线不相重合。AaB和BbA叫做A，B两点的相对法截线。注：na与nb分别是 A ，B 两点法线与短轴的交点。1

用途

图3

当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面A，B，C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形，见图3。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。1

性质

1. 1.

   大地线是椭球面上两点间的最短线。2

2. 2.

   大地线是无数法截线的连线。2

3. 3.

   椭球面上的大地线是双重弯曲的曲线。2

4. 4.

   大地线位于相对法截线之间。2

5. 5.

   不在同一子午圈与同一平行圈上的两点的正反法截线是不重合的，他们之间的夹角为△，在一等三角测量中可达到千分之四。大地线是两点间最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线（如图1），它与正法截线的夹角

方程式

大地线微分方程

如图4，设p为大地线上任意一点，其经度L，纬度为B，大地线方位角为A。当大地线增加dS到p1点时，则上述各量相应变化dL ， dB及dA。所谓大地线微分方程，即表达dL，dB，dA各与dS 的关系式。1