理论

考虑一个有个粒子位置的一维晶格（即原子链），各个位置的间距为，晶格总长。通过采用周期性边界条件可得：

其中 是波长， 是一个整数（正整数表示由左朝右传播，负整数表示由右朝左传播）。晶格中波长的最小值等于：这对应着波数的最大值 ，以及的最大值：。定义态密度 为 到 之间驻波的数量：

若推广到三维情况，可得无限深方形阱中的态密度为

其中 为空间的体积微元。对于电子，若考虑其自旋则需要对上式乘以2。通过链式法则，能量空间的态密度可表示为

其中指的是空间中的梯度。

在空间中，对应某特定能量的一系列点构成了等能面；对于取梯度会得到一系列垂直于等能面的矢量。态密度关于能量E的函数为：

其中的积分是对于等能面 的面积分。通过选定一个新的坐标系 ，我们可以令 垂直于等能面（平行于的梯度）。若选定的这个坐标系只是原坐标系的一个旋转，则空间的空间微元为

于是可写作：

将其代入g(E)的表达式中可得：