和尺规作图的关系

利用尺规作图可以将二线段的长度进行四则运算，也可以求出一线段长度的平方根。因此符合以下任一条件的均为规矩数。

整数。

所有有理数。

规矩数 a 的平方根、四次方根、八次方根...等次方根。

有限个规矩数相加、相减、相乘、相除（除数不得为0）的结果。

如 3,,,, 均为规矩数。而 ,圆周率,e均不是规矩数。

因为两个规矩数在相加、减、乘或除之后依然是规矩数，即规矩数对这些算法是封闭的；换用抽象代数的术语，它是一个域。

和整系数方程的关系

规矩数一定是代数数（为一整系数代数方程的解），且以此数为其解的最小多项式其次数为。

此条件为规矩数成立的必要条件。因此若一个数是超越数（非代数数），或一数对应的最小多项式为三次、五次，此数必定不是规矩数。

与古希腊三大难题之关系

尺规作图三大难题提出后，有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完整的解答，但开始怀疑其可能性的人之中，也没有人能够证明这样的解法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到这三个问题的本质 。

尺规可作性和规矩数

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点O和A，以OA为单位长度，射线OA为x-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于。

设E是的一个非空子集。如果某直线经过E中不同的两点，就说是E-尺规可作的，简称E-可作。同样地，如果某个圆的圆心和圆上的某个点是E中的元素，就说是E-可作的。进一步地说，如果里的某个点P是某两个E-可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点P是E-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有E-尺规可作的点的集合记作s(E)，那么当E中包含超过两个点的时候，E肯定是s(E)的真子集。从某个点集E0开始，经过一步能作出的点构成集合E1=s(E)，经过两步能作出的点就是E2=s(E1)，……以此类推，经过n步能作出的点集就是En=s(En-1)。而所有从E能尺规作出的点集就是：

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是从集合E0={(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合： 那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义：实数a和b是规矩数当且仅当(a, b)是H中的一个点。