百鸡问题

今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”

原书说明

原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者 甄鸾和 李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究 百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年 丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代 杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《 张邱建算经》的题目几乎全同。

解法

中国古代算书《 张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？

这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求 不定方程整数解的问题。解法如下：

设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由 题意得：

①……x+y+z =100

②……5x+3y+(1/3)z =100

有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。

令②×3－①得：7x+4y=100；

所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4

令x/4=t, （t为整数）所以x=4t

把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t

易得z=75+3t

所以：x=4t

y=25-7t

z=75+3t