方法简介

多目标优化(又称多目标规划、向量优化、多准则优化、多目标优化或帕累托优化)是多目标决策的一个领域，它涉及到多目标函数的优化问题，同时也是多目标优化问题。多目标优化已经应用到科学的许多领域，包括工程、经济和物流，在两个或更多冲突的目标之间存在取舍时，需要采取最优决策。在购买汽车时尽量减少成本，同时最大限度地发挥舒适度，同时最大限度地降低汽车的油耗和污染物排放，是多目标优化问题的例子，涉及两个和三个目标。在实际问题上，可以有三个以上的目标。 对于一个非平凡的多目标优化问题，没有单一的解决方案同时优化每一个目标。在这种情况下，目标函数是相互冲突的，并且存在一个(可能是无穷数)的帕累托最优解。一个解决方案称为非劣解，帕累托最优，帕累托有效或非劣效性，如果没有一个目标函数在价值上可以得到改进，而没有降低其他客观值。如果没有额外的主观偏好信息，所有帕累托最优解都被认为是相当好的(因为向量不能完全有序)。研究人员从不同的角度对多目标优化问题进行了研究，在建立和解决这些问题时，存在着不同的解决方法和目标。其目的是寻找一组代表性的帕累托最优解，并/或量化在满足不同目标的权衡取舍，以及/或找到一个满足人类决策者主观偏好的单一解决方案。

提出和形式

多目标规划的概念是1961年由美国数学家查尔斯和库柏首先提出的。

多目标规划是指含有多个目标函数的规划问题。在数学中，多目标规划法可以写成下面的形式：

其中k≥2，是指目标函数的个数，集合X是一组可行的决策向量集。可行集通常由一些约束函数定义。此外，向量值目标函数通常被定义为：。

元素被称为可行的解决方案或可行的决定。对可行解x*得到的向量称为目标向量或者是结果。

在多目标优化中，通常没有一种可行的解决方案，使所有目标函数同时最小化。因此，应注意帕累托最优解决方案，即在任何目标中都不能改进的解决方案，而不损害至少一个目标。

标准型特点

与线性规划相比，多目标规划标准型的特点在于：

1、偏差列向量 Y − 、Y + 。Y − 、Y + 分别为负、正偏差列向量，各有 m个元素 Y − 、y + 。…与 ，…，（m是约束方程的个数）。负偏差变量的经济含义为当实际值小于目标值时，实际值与目标值的偏差为负偏差，正偏差变量的经济含义与之恰恰相反。

2、价值系数行向量c。c的元素最多不超过 2m个，由目标优先权等级 Pi和目标优先权系数η组成，即 c = (c1,c2…，c2m）=（），在多目标规划的目标函数中，出现的变量只能是偏差变量。也就是说，列向量 y以正偏差变量和负偏差变量为元素。目标优先权等级 Pi既不是变量，也不是常数，它只是说明不同目标实现的先后顺序，这种优先等级的确定一般是由企业决策部门根据企业具体情况及各目标的轻重缓急加以确定的。而目标优先级系数，则说明同一优先级目标相互之间的比例关系。

基本解法

多目标规划的解法主要有单纯形法和图解法。图解法一般只适用于两个决策变量的情形。单纯形法对于求解多目标规划有普遍意义。

由于多目标优化问题通常存在多个帕累托最优解，解决这类问题的方法并不像传统的单目标优化问题那样简单。因此，不同的研究者对“解决多目标优化问题”这一术语进行了不同的界定。本节概述了其中一些和使用它们的上下文。许多方法将原问题与多目标转化为一个单一目标优化问题。这被称为一个标量化问题。如果标量化做得很好，可以保证所获得的解的帕累托最优性。 求解多目标优化问题，有时被理解为逼近或计算所有或有代表性的帕累托最优解集。 在强调决策的过程中，解决多目标优化问题的目标是支持决策者根据自己的主观偏好寻找最优的帕累托最优解。 基本假设是，必须确定一个解决问题的办法，以便在实践中加以实施。在这里，一个人类决策者扮演着重要的角色。预计dm将成为问题领域的专家。 最喜欢的结果可以用不同的哲学来找到。多目标优化方法可分为四类。在所谓的“不偏好”方法中，预计不会有dm，但在没有偏好信息的情况下，确定了一个中立的折衷解决方案。其他类都是所谓的先验、后验和交互方法，它们都以不同的方式从dm中涉及偏好信息。 在先验的方法中，首先从dm中提出偏好信息，然后找到最满意这些偏好的解决方案。在后验方法中，首先发现了一组代表性的帕累托最优解，然后再选择其中一组。在交互方法中，允许决策器迭代搜索最优先的解决方案。在交互方法的每一次迭代中，dm都得到了帕累托最优解，并描述了解决方案的改进。然后在生成新的帕累托优化解的同时考虑决策者给出的信息，以便在下一次迭代中学习。这样，dm就能了解他/她的愿望的可行性，并能集中精力解决他/她所感兴趣的解决方案。每当他/她想要的时候，dm就可以停止搜索。下面几节中给出了四个类中不同方法的更多信息和示例。

目标优先权排序 P1,P2，…，PN给出了单纯形迭代过程中实现目标的顺序。在实现某一优先级目标后，应依顺序考虑一个优先级能否实现。但是，不能为实现较低目标而使较高级目标的实现受到影响。

主要应用领域

多目标规划的概念是 1961年由美国数学家查尔斯和库柏首先提出的。至今有些理论问题尚在探讨之中，应用范围还不如线性规划广泛。在资源分配、计划编制、生产调度等方面有一定的’应用。但是，作为一种决策方法，多目标规划的应用前景还是很乐观的。企业决策者掌握和运用这种方法将有助于提高管理和决策水平。

经济学