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度量空间

现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。具体说来,如果X是一集合,d是定义在X×X上的非负实值函数,使得对任何x,y,z∈X有：① d（x,y）=0的充要条件是x=y;②d（x,y）=d(y,x)；③ d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。这时便称X是一个度量空间，d(x,y)称为x与y之间的距离。

下面是几个度量空间的例子。

欧氏空间Rn　由所有的 n元实数组(x1,x2,…,xn)构成集合Rn,Rn中元素x＝(x1,x2,…,xn)与y＝(y1,y2,…,yn)之间的距离定义为。

希尔伯特空间H 其中R表示实数集合。定义元素x=(x1x2，…，xn,…)及y=(y1，y2，…，yn…)之间的距离为。

贝尔空间B B={(x1,x2，…,xn,…)│(xn∈R,n=1,2,…)}对于两个不同的元素x=(x1,x2,…,xn,…)及y=(y1,y2,…,yn，…),用m(x,y)表示满足 xn≠yn的最小标号n，定义x与y之间的距离为 ；再规定d(x,x)=0（x∈B）。一般假设Ω是任意一个集合,取X={(x1,x2,…xn,…)|xn∈Ω),可以按同样的方法定义m(x,y)与d(x,y)，得到的度量空间也称作贝尔空间。

函数空间　处理分析问题时，根据具体情况需要可以引入种种函数空间。例如,考虑定义于闭区间【0,1】上的一切连续实值函数的集合，就可以定义两个函数? 和g的距离为

对于度量空间X,可以利用它的度量d 引进一个拓扑结构,其基的元就是所有的开球B(x,r)={y∈x｜d(x,y)<r}。这种拓扑结构称为由度量d 产生；同一集合上,不同的度量可以产生相同的拓扑结构。例如，对于实数集R, d(x,y)=｜x-y｜与就产生同一个拓扑结构。度量不是拓扑概念。

完备度量空间　在度量空间中可以用距离定义点列的收敛概念:xn→x0就是指d（xn,x0）。点列{xn}称为柯西点列，是指对任意正实数ε，都存在自然数N，使得m、n≥N时有。可以证明收敛点列一定是柯西点列，反过来并不成立。每个柯西点列都收敛的度量空间叫做完备度量空间。这类空间有许多好的性质。例如，完备度量空间中压缩映射原理成立。可以用它证明微分方程、积分方程以及无限线性代数方程组的一系列存在惟一性定理。度量空间X的任何子集Y配上原有的距离也成为度量空间,称作X的子空间。如果每个开球{x∈X｜d(x0,x)<r}都含有Y 的点,便说Y是X 的稠密子空间。

完备化定理　每一度量空间X 都是另一完备度量空间X的稠密子空间，而且X由X惟一构造出来。例如,实数直线就是有理数集的完备化，20世纪初建立严密的数学分析理论正是基于这一重要事实。

可以证明：在完备度量空间中可数多个稠密开子集的交仍是稠密集。

可度量化拓扑空间　度量空间具有许多良好性质，例如，它满足第一可数公理，它是豪斯多夫空间，正规空间，还是仿紧空间。此外对度量空间而言，紧致性等价于下列三条中的任一条：①任何可数开覆盖都有有限子覆盖;②每一无限子集都在空间中有聚点:③每一点列都有收敛子列。紧度量空间一定满足第二可数公理从而必是可分的。实际上对于度量空间而言，可分性与第二可数公理等价。因此，一个拓扑空间的拓扑结构在什么条件下能作为一个度量空间的拓扑？这是拓扑空间理论的重要问题,称作度量化问题。50年代長田潤一。ю.М.斯米尔诺夫以及R.H.宾得到了可度量化问题的重要结果。例如，拓扑空间可度量化的充要条件是：它是T1正则空间，且具有一个基，其中每个Bn都是局部有限的开集族。

巴拿赫空间

完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。是用波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。

巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。

空间X，若有从X到R的函数‖x‖使得：①‖x‖≥0,‖x‖=0必须且只须x=0,②对α ∈K,有‖αx‖=α‖x‖，③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，则称X为线性赋范空间，而称‖x‖为范数。　显然，范数这概念是Rn中向量长度概念的推广。如同有理数系可完备化为实数系，任何线性赋范空间也可按照距离d(x,y)=‖x-y‖作为度量空间而完备化。

完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。例如，设Ω为紧豪斯多夫空间，令C(Ω)表示Ω上一切实(或复)值连续函数的全体，则C(Ω)关于范数成为一个巴拿赫空间。再如，设(Ω，μ)是正测度空间，令Lp(Ω，μ)表示巴拿赫空间Ω上一切p（p≥1）次可求和函数的全体，则Lp(Ω，μ)关于范数成为一个巴拿赫空间。特别取Ω={1,2,3,…},μ(n)=1(当n=1、2、3、…)则相应的Lp(Ω，μ)成为满足条件的数列的全体，而相应的范数为。一般记这个特殊的Lp（Ω，μ）为lp。还如，设(Ω，β，μ)是正测度空间，对Ω上可测的函数?(t),如果有正数α，使于Ω几乎处处有│?|(t)|≤α，则称 ?(t)为本性有界的函数，而记上述诸α之下确界为。令L∞(Ω)表示Ω上之本性有界函数的全体，则L∞(Ω)关于范数成为一个巴拿赫空间。特别对Ω={1,2,3,…}而μ(n)=1(n=1,2,3,…)则相应的L∞(Ω)即有界数列的全体，而相应的范数为。一般记这个特殊的L∞(Ω)为m。

基 ：作为完全就范直交函数系的推广，设是巴拿赫空间X中的序列，如果对巴拿赫空间