对称群
数学上，集合X上的对称群记作SX或Sym(X)。它的元素是所有X到X自身的双射组成的群。由于恒等函数是双射，双射的反函数也是双射，并且两个双射的复合仍是双射，这个集合关于函数的复合成为群，即是置换群Sym(X)。两个函数的复合一般记作f o g，在置换群的表示里简记作fg。
对称群在很多不同的数学领域中，都扮演了重要角色。包括：伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。
有限置换群
各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。
令X = {1,...,n}，
称X上的对称群是Sn。X上所有的排列构成了全部一一映射的集合，因此，Sn有n!个元素。对n > 2，Sn不是阿贝尔群。当且仅当n ≤ 4时，Sn是可解群。对称群的子群称为置换群。
置换的乘积
对称群中，两个置换的乘积就是指双射函数的复合，由符号"∘"（U+2218“∘”）来表示，也可以省略。例如：
f与g的复合应先适用g，其后适用f。那么在g中的次序1将先被映射为元素2，然后再由 f的次序2变换成元素2，g的次序2先映射为5，然后由 f的次序5变换成4；3被 f∘g变换成5，如此类推。所以 f乘以g是：
容易证明长度为L =k·m的轮换(或称循环，如下节叙述)，它的k次方会分解为k个长度为m的轮换。比如(k = 2, m = 3)：
。
对换
对换指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换，例如(1 3)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的g = (1 2)(2 5)(3 4)。
由于g能被写成奇数个对换的乘积，g是一个奇置换。与此相反的，f是一个偶置换。
一个置换表达成对换乘积的方式不是唯一的，但每种表达方式中对换的个数的奇偶性不变，可以据此定义奇置换和偶置换。
两个偶置换的乘积是偶置换，两个奇置换的乘积是偶置换，奇置换和偶置换的乘积是奇置换，偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的正负号（sign）：
在这个定义下，