定理定义

这个公式公布不到两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。

这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家阿贝尔做出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。

阿贝尔率先解决了这个引人瞩目的难题.所以成为阿贝尔定理

定理1（阿贝尔第一定理）

（1）若幂级数①在收敛，则幂级数①在都绝对收敛。

（2）若幂级数①在发散，，则幂级数①在都发散。

定理推广

如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数存在，使得

当时，幂级数绝对收敛；

当时，幂级数发散；

当时，幂级数可能收敛也可能发散。

定理2

有幂级数①，即，若

则幂级数①的收敛半径为

定理3（阿贝尔第二定理）

若幂级数①的收敛半径，则幂级数①在任意闭区间都一致收敛。

性质1