例1

已知异面直线l1,l2，l1⊥l2，MN为l1,l2的公垂线段M∈l1，N∈l2，A∈l1异于M，B∈l2异于N，P为MN上异于M，N的任一点。（1）判断ΔABP的形状（锐角还是钝角或Rt△）；（2）设AB中点为C，MN中点为D，AB=a, MN=b。求线段CD的长。

解析（1）：判断ΔABP形状？不知角→只能通过边→余弦、勾股定理→比较三边平方关系，

依题设，AP2=AM2+MP2，BP2=BN2+NP2→AB2=？

过N作NQ//l1,则A，Q，M，N共面，过A作AQ//MN交NQ于Q，

∵ MN为公垂线，∴ MN⊥平面QBN，∴ AQ⊥平面QBN，

∴ ΔAQB为RtΔ，∴ AB2=AQ2+BQ2=MN2+BQ2

∵ l1⊥l2，∴ QN⊥BN，∴ QB2=QN2+BN2=AM2+BN2,

∴ AB2=AM2+BN2+MN2,

∵ MN=MP+NP，∴ MN2>MP2+NP2，

∴ AB2>AM2+MP2+BN2+NP2=AP2+BP2，

由余弦定理可知，cos∠APB<0，∴ ΔABP为钝角三角形。

解析(2)：已知AB，MN，CD三条线段不共面，要想求出CD，必须先将三者的数量关系转化集中到同一平面内。

同（1）过N作NQ//l1, A,M,N,Q共面，

过A作AQ//MN交NQ于Q，证得ΔAQB为RtΔ，

AQ=MN，则BQ=，作BQ中点E，连结CE，EN，

又∵ C为AB中点，∴ CEAQ，

∵ D为MN中点，∴ CEDN，

∴ 四边形CEND为平行四边形， ∴ CD=EN，