实数

数学定义

实数（real number）是有理数和无理数的总称，定义为与数轴上的点相对应的数，是实数理论的核心研究对象，它与虚数共同构成复数。

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实数可以分为有理数和无理数或代数和超越数1。所有实数的集合可称为实数系（real number system）或实数连续统。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

基本信息

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

实数

实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

实数集是有序的，即任意两个实数、必定满足并且只满足下列三个关系之一：，，。

实数大小具有传递性，即若，且，则有。

实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即，，若，则∃正整数，。

实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：

一、所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限。