基础定义

面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。面积可以理解为具有给定厚度的材料的量，面积是形成形状的模型所必需的，或者用单一涂层覆盖表面所需的涂料量。它是曲线长度（一维概念）或实体体积（三维概念）的二维模拟。

可以通过将固定尺寸的形状与正方形进行比较来测量形状的面积。在国际单位制（SI）中，标准单位面积为平方米（平方米），面积为一米长的正方形面积，面积为三平方米的形状将与三个这样的广场相同。在数学中，单位正方形被定义为具有区域1，任何其他形状或表面的面积都是无量纲实数。

有几种众所周知的简单形状的公式，如三角形，矩形和圆形。使用这些公式，可以通过将多边形分成三角形来找到任何多边形的面积。对于具有弯曲边界的形状，通常需要微积分来计算面积。事实上，确定飞机数字面积的问题是演算历史发展的主要动机。

对于诸如球体，锥体或圆柱体的实体形状，其边界面的面积被称为表面积，简单形状的表面区域的公式由古希腊人计算，但计算更复杂形状的表面积通常需要多变量微积分。 [2] 

区域在现代数学中起着重要的作用。除了其在几何和微积分中的显着重要性，面积与线性代数中的决定因素的定义有关，是微分几何中表面的基本特性。在分析中，使用Lebesgue测量来定义平面的子集的面积，尽管并不是每个子集都是可测量的。一般来说，高等数学领域被视为二维地区体积的特殊情况。

可以通过使用公理来定义区域，将其定义为某些平面图的集合与实数集合的函数。可以证明存在这样的函数。

演绎过程

圆的面积

在公元前5世纪，希俄斯堡的希波克拉底是第一个显示盘片区域（由圆圈包围的区域）与其直径的平方成比例的，作为他在希波克拉底时代的正交的一部分，但没有确定比例常数。 Cnidus的Eudoxus也在公元前5世纪也发现磁盘的面积与其半径平方成正比。

随后，欧几里德要素的第一卷涉及二维人物之间的平等。数学家阿基米德使用欧几里德几何的工具来表明，在他的书“测量圈”中，一个圆内的区域与一个直角三角形的直角三角形相同，其直径三角形具有圆的圆周长度，高度等于圆的半径。 （圆周为2πr，三角形的面积为基准的一半乘以高度，产生磁盘的面积为πr²）。阿基米德的近似值为π（因此单位半径圆的面积）与他的倍数方法，其中刻有一个正三角形的圆圈并注明其面积，然后将边数增加一倍，给出正六边形，然后随着多边形的面积越来越接近圆的边数，反复加倍边数（并用限定的多边形做同样的）。

1761年，瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert）证明，一个圆的面积与其平方半径的比值是不合理的，这意味着π不等于任意两个整数的商。 1794年，法国数学家Adrien-Marie Legendre证明π2是不合理的;这也证明π是不合理的。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明，π是超验的（不是任何具有理性系数的多项式方程的解），证实了勒让德和欧拉的推测。

三角形面积

亚历山大的苍鹭（或英雄）发现了三角形方面所谓的苍鹭的公式，并且在他的书中，可以在他的大约60年前写的Metrica的书中找到一个证明。有人建议阿基米德在两个世纪前知道这个公式，由于Metrica是古代世界可用的数学知识的集合，所以有可能该公式早于该作品中的参考。 [3] 

在印度数学和印度天文学古典时代的一位伟大的数学家 - 天文学家499年，Aryabhata将三角形的面积表示为Aryabhatiya高度的一半。

中国人独立于希腊人发现了相当于苍鹭的公式。它于1247年在蜀崎九章出版（“九章数学论”）上发表，由秦九绍撰写。

四边形面积

在公元七世纪，Brahmagupta开发了一个公式，现在称为Brahmagupta的公式，用于其侧面的循环四边形（四边形刻在圆中）的面积。 1842年，德国数学家Carl Anton Bretschneider和Karl Georg Christian von Staudt独立地发现了一种称为Bretschneider公式的公式，用于任何四边形的区域。

一般多边形面积