基础定义

三垂线定理是立体几何的重要定理之一，平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也就和这条斜线垂直，三垂线定理通过平面斜线的射影与平面内一直线的垂直关系来判定斜线与平面内一条直线垂直，由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线（如图，PA⊥平面α，PB⊥a，AB⊥a），故称为三垂线定理。2

图1.

应用举例

线面垂直证明

已知：如图， PO 在 α 上的射影 OA 垂直于 a 。求证：OP⊥a。

证明：过 P 做 PA 垂直于 α

∵PA⊥α且a⊂α

∴a⊥PA

又a⊥OA

OA∩PA=A

∴a⊥平面POA

∴a⊥OP

三垂线定理的证明

用向量证明

1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA

证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）

∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b ）=0，

∴PA⊥向量b。