合流超几何函数

在特殊函数中，合流超几何函数（confluent hypergeometric function）定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。

根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有：

Kummer 函数（第一类合流超几何函数）M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数；

Tricomi 函数（第二类合流超几何函数）U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一个线性无关的解，有时会写成 Ψ(a,b,z)；

Whittaker 函数是 Whittaker 方程的解，Whittaker 方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关；

Kummer 方程

根据广义超几何函数的性质，超几何函数 w(z)=1F1(a;b;z) 满足的微分方程为：

展开后就得到 Kummer 方程，

它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：

式中 (a)(n) 是升阶乘的 Pochhammer 记号。

Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形：

高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：

按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 b 等同于上式的 c）：

但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合：

它与另一个广义超几何函数有下列关系：

但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 2F0 对应的超几何级数视为渐近级数。