概念

有向系统(directed system)是特殊的有向偏序集。若一个偏序集的任意两个元素有上界，则称此偏序集为有向偏序集。设P(A)表示A的幂集，BP(A)，并且B≠∅。若〈B，〉是一个有向偏序集，则称B是一个有向系统，其中〈B，〉表示B关于集合包含关系构成的偏序集。

偏序集

偏序集是特定的集。它是一类主要的序关系集。具体地说，集合E连同其上的偏序R构成的关系集(E，R)，一般记为P=(E，≤)。所谓偏序(或序关系)是一类具有自反性、反对称性和传递性的二元关系。例如，数之间的不大于关系，自然数之间的整除关系，集合之间的包容关系等。把集合E的基数称为偏序集P的阶。阶为有限值的偏序集称为有限偏序集。而在P上，对于任意元素x，y，区间[x，y]均为有限偏序集时，称P为局部有限偏序集。这两类偏序集是组合理论中的主要研究对象。偏序集上所有链的长度的最小上界，或上确界，称为偏序集的长度，记为l(P)。偏序集中最大反链包含的元素数目，称为偏序集的宽度，记w(p)。对于以下图为哈塞图的偏序集P，有l(P)=3，w(P)=2。偏序集的子关系集仍为偏序集，而且必有全序集作为其子关系集。

图1. 偏序集

全序集

全序集亦称线性序集。又称链.一类重要的偏序集。若偏序集P适合公理P4：若对任意x，y∈P，x<y，y<x，x=y三式中有且仅有一式成立，则称P为全序集。全序集中的关系≤称为全序或线性序。若偏序集P的子集C作为子偏序集是全序集，则称C是P中的链;若C是非序的，则称C为P的反链。实数集及其任何子集在通常的≤关系下是全序集。

幂集

若A是一个集合，则以A的一切子集作为元素所组成的集合就叫做集合A的幂集。记作P(A)，即：P(A)={x|x⊆A}。

例如，设集合A={1，2}，则P(A)={Φ，{1}，{2}，{1，2}}。

由于集合A的任意两个子集的并、交、差仍然是A的子集，因此A的幂集P(A)对于集合运算并、交、差是封闭的。

若A是由n个元素组成的集合，则它的幂集P(A)含有2个元素。

集合A的基数(参见“集合的基数”)小于它的幂集P(A)的基数。

空集Φ的幂集P(Φ)是非空集合，它有一个元素Φ。

集合

集合是现代数学的一个重要的基本概念。当我们把一组确定的事物作为整体来考察时，这一整体就叫做集合。

例如，(1)从1到10这10个自然数的全体；(2)小于100的所有质数的全体；(3)全体自然数；(4)一个班所有学生这一整体；(5)世界上所有国家组成的一个整体；等等，它们都是集合的例子。

上述例子可以看出，它们都是分别由不同的对象组成的一个整体，它们的特点是有确定的对象和具有一定的范围。所以集合这个概念可以用以下的语言来描述：

集合是具有一定范围的、确定的对象的全体。集合也简称为集。