马蒂厄方程

马蒂厄在研究椭圆形膜的边界值问题时，导出了一个二阶常微分方程，其形式为

式中，和为二个实参数，方程的系数是以或为周期的。

当时，马蒂厄方程退化为

解为

当时，可以得到分情况分别得到整数阶的马蒂厄函数和非整数阶的马蒂厄函数1

整数阶的马蒂厄函数

在很多实际问题中，马蒂厄方程所描写的系统称为参量激励型的，代表激励幅度的大小，当这种激励并不十分强烈时，可以将它作为数学处理中的微扰参数，若不能表示为某个整数的平方但可以表示为

当时，有，这时，可以认为马蒂厄方程的解偏离时的马蒂厄方程的解组并不太大，于是对应于余弦项的解组可表示为

将该式代入马蒂厄方程，将所得的结果按照的幂次排列，使得各个幂次前的系数相等，于是可以得到待定系数的值，将这些值带入上式中，我们可以得到一阶椭圆余弦函数或者称为余弦型一阶马蒂厄函数，类似的，我们可以得到对应正弦项的解称为一阶椭圆正弦函数或者正弦型一阶马蒂厄函数。当一定时，这两个解的特征数不相等，这表明这两个马蒂厄函数不能同时成为马蒂厄方程的解，除非。

但是马蒂厄方程应该有两个线性独立的解，这就求助于构造独立解的方法。例如，已知一个解为，与它线性独立的另一个解可以用它们的朗斯基行列式求得，即

同理，我们可以得到阶的马蒂厄函数。1

非整数阶的马蒂厄函数

上面我们讨论了，其中，为整数的情形，现在我们来研究，为非整数时的情况。与上面的计算方法类似，当时，退化的马蒂厄方程的解组为和。