概念介绍

哈密顿群(Hamilton group)是一类非交换群。若H不是阿贝尔群，H的每个子群都是正规子群，则称H为哈密顿群。哈密顿群是四元数群、每个元素的阶都是奇数的阿贝尔群以及方次数为2的阿贝尔群这三个群的直积。其中四元数群：

一般地，若一个群G的任何子群都是正规子群，称G为戴德金群。

群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

子群

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G.若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H<G。任何一个非单位元群G至少有两个子群，G自身以及由单位元e作成的单位元群{e}(或用{1}或1表示)，称它们为G的平凡子群。不是平凡子群的子群称为非平凡子群。群G的非空子集H为G的子群的充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H.若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

正规子群

正规子群亦称不变子群。一类重要的子群。在共轭作用下不变的子群。设H是群G的一个子群，若对任意的x∈G有Hx=xH，则称H是G的一个正规子群，记为HG.子群H是G的正规子群的充分必要条件是对于任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的两个正规子群，称为G的平凡正规子群。

交换群

交换群(阿贝尔群)是指其运算适合交换律的群，或称阿贝尔群。挪威数学家阿贝尔在研究高次方程的根式求解时，除了五次方程以外，他讨论了更广一类的方程，现称之为阿贝尔方程。其全部根都是其中一个根的有理函数，设x1是n次阿贝尔方程的一个根，其全部根则为，其中Qi(i=1，…，n-1)是有理函数，并且对于任意的1≤i≤j≤ n，有Qi(Qj(x1))=Qj(Qi(x1))。后人发现，阿贝尔方程是具有交换律的伽罗瓦群的方程。为了纪念阿贝尔，后人称交换群为阿贝尔群。