定义

迹形式亦称不变对称双线性形式，是线性空间中的双线性函数的推广。设A是域F上一个非结合代数，是A上(作为线性空间)的一个双线性形式，若还有，则称这个双线性形式是迹形式。在非结合代数A上给定一个迹形式后，对A的每个理想B，得A的理想{对所有}，它和B一起反映了A的有正交性质的结构。

迹形式的性质

设是上的厄米特形式，我们说是一个迹形式，如果对于一切都是中的“迹”，这就是说都可以表成形状，由于是对称元素，所以当K的特征数≠2时，这个条件一定成立，因为这时只要取即可。 当K的特征数为2而中心Z中对称元素所组成的子域与Z相异时(这时对合称为第二类对合，例如当K是域而异于单位自同构时就是这种情形)，这个条件也成立。实际上，这时存在一个使得，于是；如果是K中任意一个对称元素，因为，我们有，因此。反之，当K是(特征数为2的)域而是单位自同构时，除了0以外任何对称元素都不是“迹”；因此迹形式就是交错形式。我们可以举出一个对于中心的秩为4的体来，其中有不是迹的对称元素存在2。

以下我们永远假定所研究的自反形式是非退化的迹形式，对于这样一个形式(假定它是厄米特形式)，首先有下面的引理：对于E中任何一个迷向向量和包有的任何一个非迷向平面P，P中都存在另外一个迷向向量b，使得。实际上，只要选P中一个向量c使得，并求得使得即可；我们求得方程，因为，所以只要取即得；再将b乘以就得到问题的答案。

从这个结果可以推出下面两个结果：

1)对于E的任何一个全迷向子空间，都存在另一个与V有相同维数的全迷向子空间W，使得而且V中非零向量都不与W正交。 此外，对于任何一对适合这个条件的同一维数P的全迷向子空间，都存在V的一组基和W的一组基，使得。

只要对于V的维数用归纳法并应用上述引理，即可证明这个结果。我们注意，如果p是的指数v，那么对于维数v的两个全迷向子空间V和W，就推出V中非零向量都不与W正交。

2)当时。存在E的一组由迷向向量所组成的基。实际上，先在E中取一个迷向向量a，再在E中取一个迷向向量b使得，那么由a和b所确定的平面P是非迷向的；设是的一组基，我们立刻看到，于是在由b和所确定的平面中就存在一个迷向向量使得。因而a，b和就组成所要求的一组基2。

E的两个同一维数的子空间V和W，一般说来不能用一个酉变换将其中之一变到另外一个；这样变换存在的条件由下面的基本定理所给出，这个定理是维特(E.Witt)证明的。

定理存在一个酉变换使得的充分必要条件是在和上的限制是等价的。

（更多内容请查阅相关资料）2。

参考资料