概念

积分流形(integral manifold)是一类子流形。它是由对合分布确定的子流形。设Dl是Ck流形M上的l维分布，包含映射i：W→M为浸入。若对于每一点p∈W都有i*(Tp(W))Dl(p)，即i的切映射将子流形(W，i)在p点的切空间Tp(W)映入Dl(p)中，则称(W，i)或i(W)是Dl的积分流形。当一个积分流形不能成为其他的积分流形的真子集时，称它为极大积分流形。在坐标邻域U上任取属于D的一个向量场，则它的任一条积分曲线都是D的1维积分流形。特别地，设D为C分布且对每个点p都存在p点的坐标图(U，φ，x)，使得

Uc={q∈U|xα(q)=cα，cα为常数，l+1≤α≤n}

都是Dl的积分流形，即Dl在U上由：

所生成时，称Dl是完全可积的。

流形

流形是一类拓扑空间，它在每一点的附近都与欧氏空间同胚。一般的流形概念，起始于对于可微流形的研究，在点集拓扑中已经熟悉把一元或多元连续函数的概念，推广为拓扑空间之间连续映射的概念。但是对于函数的可微性，在进行类似的推广时，却遇到截然不同的情况，若M，N为拓扑空间，f：M→N为映射，则为了计算微商，须考虑(f(x+h)-f(x))/h，然而在一般空间中，这是没有意义的，因此对于M与N，提出了有一个支撑空间的要求，这是产生可微流形概念的客观要求。

在历史上，n维流形的概念在拉格朗日(Lagrange，J.-L.)时代已初见端倪，黎曼(Riemann，G.F.B.)于1854年利用参数的观点，对维数用归纳法进行构造，以后庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)为了摆脱这种研究方法的复杂性，把n维流形定义为现在这个样子，即它是一种连通的拓扑空间，其中每点有一个邻域与R(或C)的一个邻域同胚，即把流形定义为局部欧氏空间。这是曲线与曲面概念的高维推广，它是代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑以及微分几何研究的主要对象。

对合分布

对合分布是一类特殊的分布。Ck流形M上l维对合分布Dl具有下述的特征性质：对于M的每一个点，都有一个邻域U及Dl在U上的一组Ck-1局部基向量场X1，X2，…，Xl，使得[Xi，Xj](1≤i，j≤l)在U上都属于Dl。这时也称分布D是对合的.[Xi，Xj]属于Dl等价于它们都是X1，X2，…，Xl的线性组合，即[Xi，Xj]=μijXh，μij∈C(U) (i，j，h=1，2，…，l).能选到一组局部基向量场使得μhij≡0。分布是对合的也意味着对于任意两个属于Dl的Cr向量场X，Y，其李括号[X，Y]也属于Dl。

微分流形

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具体说来,设M是一个Hausdorff空间。U是M的开集,h是U到n维欧氏空间R的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射,则(U，h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系{Uα}所覆盖,则(Uα,hα)的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是C相关的(坐标图册应该是极大的，即若任一坐标图与坐标图册中每一个坐标图都相容则其自身也属于坐标图册),则称M有C微分结构,又称M为n维的C微分流形。C相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常记号C表示解析函数。具体来说, 如p∈Uα∩Uβ,(x,）(x)(i=1,…,n)分别是p在两个坐标图(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐标,即那么它们之间的关系式可表为而ƒ关于x（j=1,2，…，n）具有直到k次的连续导数。k=0时,M是拓扑流形；k>0时,就是微分流形；k=ω时，是解析流形。C流形又常称为光滑流形。如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间，则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零，则称这个流形是可定向的。球面是可定向的，麦比乌斯带是不可定向的。

同一拓扑流形可以具有本质上不同的微分结构。米尔诺（John Milnor）首先发现作为一个拓扑流形，七维球面上可有不同于标准微分结构的怪异微分结构。后来弗里德曼（Michael Freedman）等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构，这与其他维数的欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。

切空间

切空间是微分流形在一点处所联系的向量空间，欧氏空间中光滑曲线的切线、光滑曲面的切平面的推广。若M是n维微分流形，p∈M，记C∞(p)为在p的某个邻域内有定义的C∞可微函数的集合，则适合下列条件的函数Xp：C∞(p)→R称为M在p处的切向量：

1.对于f，g∈C∞(p)，若存在M中p的某邻域U，使得f|U=g|U，则Xp(f)=Xp(g).

2.对于f，g∈C∞(p)，α，β∈R，有：