定理内容

令表示包含上所有满足前k阶弱导数属于的实值函数的索伯列夫空间，其中k是非负整数且有1。索伯列夫嵌入定理的第一部分指出如果且满足和

那么，

并且该嵌入连续。在且的特殊情形，Sobolev嵌入定理给出

其中p是p的Sobolev共轭，如下给出

这个索伯列夫嵌入定理的特例可由索伯列夫不等式直接得出。

索伯列夫嵌入定理的第二部分用于嵌入到Hölder空间。如果其中，则有嵌入

索伯列夫嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性。

推广

索伯列夫嵌入定理对于有其他适当定义域的索伯列夫空间也成立。特别的，索伯列夫嵌入的两个部分在满足下列条件时成立：

1)是上有Lipschitz边界的有界开集（或者边界满足锥条件）；

2)是紧黎曼流形；

3)是有Lipschitz边界的紧带边黎曼流形；

4)是满足单射半径且截面曲率有界的完备黎曼流形。