基本介绍

布罗卡尔点(Brocard point)是刻画三个圆相关位置的特殊点，在△ABC中，设C1是过C而切AB于A的圆，C2是过A而切BC于B的圆，C3是过B而切CA于C的圆；又设C1′是过C而切AB于B的圆，C2′是过A而切BC于C的圆，C3′是过B而切CA于A的圆，则C1，C2，C3三个圆交于一点Ω；C1′，C2′，C3′三个圆交于一点Ω′，点Ω和Ω′称为△ABC的布罗卡尔点，Ω称为正布罗卡尔点，Ω′称为负布罗卡尔点，Ω与Ω′是△ABC的等角共轭点。布罗卡尔点具有性质2：

∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA；

∠Ω′AC=∠Ω′CB=∠Ω′BA.

图1布罗卡尔点

当这六个角相等时，称为△ABC的布罗卡尔角。研究布罗卡尔点的有关性质的几何内容称为布罗卡尔几何，点Ω和Ω′是由克雷尔(A.L.Crelle)首先发现的，但当时并未引起人们重视，布罗卡尔(P.R.J.B.H.Brocard)于1881年向法国科学进步协会提交的论文《三角平面一个新圆的研究》宣布布罗卡尔圆的重新发现，并由此产生布罗卡尔点、布罗卡尔三角形等概念2。

例题解析

【例1】 (1)证明：△ABC内存在这样的点P，使得∠ABP =∠CAP =∠BCP。

(2)在△ABC的边上向形外作相似于它的△CA1B，△CAB1和△C1AB(全部四个三角形第一个顶点的角相等，依此类推)，证明：直线AA1，BB1和CC1相交于一点，并且这个点与问题(1)中的点P重合。点P称为△ABC的布罗卡尔点。类似可证，还存在第二个布罗卡尔点Q，对于它满足∠BAQ=∠ACQ=∠CBQ。

提示立刻解问题(2)。首先证明，直线AA1，BB1和CC1相交于一点，设△A1BC和△AB1C的外接圆相交于点O，则

∠(BO，OA) =∠(BO，OC) +∠(OC，OA) =∠(BA1，A1C) +∠(CB1，B1A) =∠(BA，AC1) +∠(C1B，BA) =∠(C1B，AC1)

即△ABC1的外接圆也过点O，所以

∠(AO，OA1) =∠(AO，OB) +∠(BO，OA1) =∠(AC1，C1B) +∠(BC，CA1) = 0°

也就是直线AA1过点O，类似可证，直线BB1和CC1过点O。

现在证明，点O与所求的点P重合，因为∠BAP=∠A-∠CAP，所以等式∠ABP =∠CAP等价于等式∠BAP+∠ABP=∠A，即∠APB =∠B+∠C，对于点O最后的等式是显然的，因为它位于△ABC1的外接圆上3。

【例2】(1)过△ABC的布罗卡尔点引直线AP，BP和CP，交外接圆于点A1，B1和C1，证明:△ABC≌△B1C1A1。

(2)△ABC内接于圆S，证明：使直线PA，PB和PC与圆s的交点形成的三角形与△ABC全等的不同的点P不少于8个(假设直线PA，PB和PC与圆的交点不同于点A，B和C)。

提示(1)我们证明，，即AB= B1C1，实际上，，而，所以。

(2)我们认为△ABC和△A1B1C1内接于一个圆中，并且△ABC是固定的，而△A1B1C1旋转，直线AA1，BB1和CC1交于一点不比△A1B1C1的一个位置多，在此情况下可以产生12个不同的△A1B1C1类:△ABC和△A1B1C1可以使旋转或轴对称结合在一起；除此之外，三角形顶点的记号A1，B1和C1可以对照六种不同的方法。