基本介绍

正等角中心(positive isogonal centre)亦称费马点，是三角形的巧合点之一。若分别以△ABC的三边为边，向形外作正三角形ABC′，BCA′，CAB′，则三直线AA′，BB′，CC′交于同一点P，并形成以P为顶点的六个相等的角，每个角等于60°(如图1)，点P称为△ABC的正等角中心，当△ABC每个内角都小于120°时，正等角中心是到三顶点距离之和为最小的点，正等角中心早在古希腊时代已被发现，公元17世纪时，费马(Fermat，P.de)曾提出这样的征解问题：求一点，使与定三角形三顶点的距离和为极小。因此，各角均小于120°的三角形的正等角中心又称费马点2。

图1

正等角中心的证明

若在△ABC的外边作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC' ，如图2（a），则AA'、BB'、CC'三点共点。

图2（a）

这点叫做△ABC的正等角中心，是三角形的巧合点之一，早在希腊时代已被发现。公元十七世纪时。法国数学家费马(Fermat，1601-1665年)曾提出一问题征解，问题是“求一点，使与定三角形三顶点的距离和为极小”。当三角形的三个角均小于120°的时候，如图2（b），问题的解答正是三角形的正等角中心。因此各角均小于120°的三角形，它的正等角中心又有费马点之称3。

图2（b）

图2（c）

题设在△ABC的外边作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC'。

题断AA'、BB'、CC" 三线共点。

思索方法在AA'、 BB'、CC'三线中，如果其中两线的交点是△ABC的顶点之一(当△ABC有一角等于120°时)，则问题已显而易见。现在假定BB'与CC'的交点是O，连OA和OA'。 由题设，易知△ABB'与△AC'C合同，因而A与BB'、C'C等距。那么OA是∠B'OC'或∠BOC的平分线，如图2（c）。于是若能证OA'是∠BOC的平分线，问题便解决了。为要考究这一点，我们想到图形中有许多60°的角，应该设法利用它们。从上述两个合同三角形的对应角相等这个关系看来，我们马上发觉∠COB'= ∠CAB'= 60°， 由此可见O、B、A'、C四点同在一圆上。这就证实了我们刚才的希望没有落空。

证明分三种情形证明如下：

1° 假定△ABC有一角例如A角等于120° ，如图2（a）。这时BAB'与CAC'显然都是直线，因而AA'、BB'、CC'三线会于A点是十分明白的。

2° 假定△ABC各角均小于120° ，如图2（b）。这时BB'、CC'两线显然交于△ABC内部一点O，连OA和OA'。由题设，AB= AC'，AB'= AC，且

∠BAB'=∠BAC+∠CAB'=∠BAC+∠C'AB=∠C'AC，

故 △ABB'≌△AC'C。

由此得知A与BB'、C'C等距，那么OA是∠B'OC'的平分线。

在合同三角形△ABB'与△AC'C中，有∠AB'O=∠ACO。因此A、B'、C、O四点同在一圆上，从而∠COB'= ∠CAB'= 60°。但据题设，∠CA'B= 60°，可见四边形OBA'C有外接圆。这样一来，由A'B=A'C，便知OA'是∠BOC的平分线。