简介

德萨格定理(Desargues theorem)射影几何的重要定理之一。若两三角形的对应顶点连线共点(此点称为透视中心)，则其对应边之交点必共线(此线称为透视轴)。此定理的逆定理亦成立。满足德萨格定理的两个三角形称为透视的。

这种交叉定理在通常的欧几里德平面中是正确的，但在特殊情况下需要特别注意，因为当一对边平行时，它们的“交点”返回到无限远。 通常，为了消除这些例外情况，数学家们通过在“庞加莱”之后加入“无限”点，“完成”欧几里得平面，这产生了投影平面。

德萨格定理对于真正的投影平面是正确的，对于从场或分区环算出的任何投影空间，对于任何不等于二的尺度的投影空间，以及Pappus定理所拥有的任何投影空间。 然而，有一些非德萨格平面，德萨格定理是不成立的。

历史

德萨格从未发表过这个定理，但是它出现在题为“使用视角的M. Desargues的通用方法”（附录）中的一个附录，该书是他的朋友和学生亚伯拉罕博斯（1602-1676）发表的关于1648年出版的观点的实用书籍。

投影与仿射空间

在像欧几里德平面这样的仿射空间中，类似的声明是真实的，但只有当列出了涉及平行线的各种例外情况。因此，德萨格的定理是最基本的简单和直观的几何定理，其自然出发点是投射而不是仿射空间。

自对偶

根据定义，当且仅当它们处于中心透视（或等效地根据该定理，轴向透视）时，两个三角形是透视的。请注意，透视三角形不需要相似。

在平面投影几何（其中点对应于线和共线性对应于线的并行性）的标准二元性下，德萨格定理的陈述是自相矛盾的：轴向视角被转换为中心透视性，反之亦然。

德萨格定理的证明

德萨格定理适用于任何场或分区环上的任何维度的投影空间，并且还适用于尺寸至少为3的抽象投影空间。在维度2中，它所保持的平面称为德萨格平面，与可以通过划分环给定坐标。还有许多非德萨格平面，其中德萨格的定理不成立。

三维证明

任何投射空间至少为3的德萨格定理都是真实的，对于任何可以嵌入在至少为3的维度空间中的任何投影空间，更为一般。

德萨格的定理可以说如下：

如果线Aa，Bb和Cc是并发的（在某点相交），那么

点AB∩ab，AC∩ac和BC∩bc是共线的。