相关结论

关于两平方数之和定理有以下结论:

1.若n≡3(mod 4)，则n不能表示为两平方数之和。

2.若n可表示为两平方数之和，则对任一整数k，k2n亦可表示为两平方数之和。

3.n不能表示为两平方数之和的充分必要条件是n的标准分解式中至少有一个素因数与3同余(mod 4)且它的次数为奇数。

4.若p,q均可表示为两平方数之和，则其乘积pq亦可表示为两平方数之和。

5.任意素数x，若满足x≡1(mod 4)，则可唯一地表示为两平方数之和。

6.若n能表示为两平方数之和，则n2+1的每一个因数都能表示为两个平方数的和。

7.设p是m的一个奇素因数，p能表示为两平方数之和，若m能本原地表示成两平方数之和，则m/p也能本原地表示为两个平方数的和。

研究历史

把一个自然数表示为两平方数之和是数论中的一个古老问题。远在公元3世纪末期，丢番图(Dio-phantus)通过研究毕达哥拉斯三元数组后，已经知道如何把某些自然数表为二平方数之和，也知道形如4m+3的自然数不能表成二平方数之和。丢番图将这些研究写人了他早已失传的《衍论》中，这些内容可从后人对该书的评注中见到.丢番图的研究停留在算术阶段，缺乏数论的特色。1640年12月25日，费马(Fermat,P. de)给梅森(Mersenne, M.)的信中最先提出了形如4n+1的素数可以表成两个平方数的和。1754年，欧拉(Eider, L.)首次证明了它，还证明了表达式的惟一性。